问答题(2020年上海市

双曲线C1: x2/4-y2/b2 =1 与圆 C2 : x2 + y2 = 4 + b2 (b > 0) 交于点 A(xA, yA), 曲线 Γ 满足 x > |xA| 并在曲线 C1、C2 上.

(1) 若 xA=, 求 b 的值;

(2) b =, 圆 C2 与 x 轴交于点 F1, F2, P 在第一象限, |PF1| = 8, 求 ∠F1PF2;

(3) 点 D(0,b2/2+2), 过该点的直线斜率为 -b/2 的直线 l 和 Γ 只有两个交点, 记作 M, N, 用 b 表示 ,并求其取值范围.

答案解析

(1) 由于点 A 在 C1, C2 上, 当x_A= 时, 代入曲线方程有 , 且 b > 0, 解得yA= ,b=2. 所以 b 的值为 2.(2) 当 b = 时, 双曲线 C1 方程即x2/4-y2/5=1, 圆 C2 方程即 x2 + y2 = 9.因为 F1, F2 为圆 C2 与 x 轴的左右交点, 所以 F1(−3, 0), F2(3, 0), 恰为双曲线的左右焦点.因为 P 在双曲线 C1 的第一象限图像上, 且 |PF1| = 8, 所以 PF1 − PF2 = 2a = 4, 所以解得 |PF2| = 4.在 △PF1F2 中, |PF1| = 8, |PF2| = 4, |F1F2| = 6, 所以cos∠F1 PF2==(16+64-36)/(2×4×8)=11/16 . 所以,∠F1 PF2=arccos 11/16 .(3) 依题意直线 l 的方程为 y=-b/2 x+2+b2/2 . (先判断直线与曲线 C1 与 C2 的关...

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讨论

已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的方程为____________.

造型 可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足:横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则【 】

设双曲线x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2作平等于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为______.

已知双曲线C的中心坐标为原点,左焦点为(-2√5,0),离心率为√5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.

设 F1, F2 是双曲线 C : x2 −y2/3 = 1 的两个焦点, O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且 |OP| = 2, 则 △PF1F2 的 面积为【 】

已知椭圆 x2/4+y2/3=1 , 点 P 在第二象限, F 是其右焦点, PF 交椭圆于 Q, Q 关于 x 轴对称点 Q′, 且PF ⊥ FQ′, 直线 PF 的方程是_______________.

已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与直线F1 F2的夹角为φ,tanφ=/2,l与线段F1 F2的垂直平分线的交点是P,线段PF2与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF2 |=2:1.求双曲线C的方程.

椭圆x2/12+y2/3=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1 |是|PF2 |的【 】

已知两点M(1,5/4),N(-4,-5/4),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3③x2/2+y2=1 ④x2/2-y2=1在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是【 】

设椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的右焦点为F1右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是________.

AB 为一圆之一条固定弦,R 是圆上之一运动的点,求三角形 ABR 的垂心的轨迹.

一圆的中心在直线 5x-3y-7=0 上,且经过两圆之交点,求此圆的方程式.

设二斜交轴 x 与y 交角为 θ,作一圆使通过 x 轴上之二定点 (a²,0),(b²,0)且与 y 轴相切,求此圆之方程式.

于 A,B,C 三阵地测得敌机之仰角为 60°,45°,45°,今 B 地在 A 地正北 3000尺,C 地在 A 地之正西 4000 尺,求敌机之高,并讨论之.

已知二圆C1:x²+y²-6x=0,C2:x²+y²-4=0,求通过C1,C2之两交点及另一点(2,-2)之圆的方程式.

A tower of 20.7 feet high stands at the edge of the water on a bank of a river. From a point directly opposite to the tower on the other side of the river above the water, the angle of elevation of the top of the tower is 27°17' and the angle of depression of the image of its top in the water is 38°12'. Find the width of the river.

Two towers, A and B, on the shore of a lake can be observed from only one point C on the opposite shore. The lines joining the bases of two towers subtend anangle of 63°42' at C. The heights of the towers are 132 feet and 89 feet, and the angle of elevation of the tops as seen from C are 8°13' and 7°21' respectively.Find the distance AB.

Find the distance from the point (-1, -4) to the straight line which is drawn through (-2,6) and the perpendicular to the line joining (3,6) and (-5,-1).

某人在高处望见正东海面上一船首,其俯角为 30°,当船向正南行 a 里后,求得船首俯角为 15°,问此人之视点高出海面若干?

求圆锥曲线 x² +y² = 49 及 x² +y² - 20y +90 =0之公切线的长.