高中数学-高考试题(北京市 2023年双曲线)

填空题（2023年北京市）

已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为√2，则C的方程为____________.

答案解析

x²/2-y²/2=1设双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b.由题意知，双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，半焦距c=2，由双曲率心率为√2得：c/a=√2，解得a=√2，∴b=√2，∴双曲线的方程...

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讨论

圆锥曲线

记双曲线C:x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值_________．

设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．（1）求C的方程；（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．

设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=【】

双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos⁡∠F1NF2=3/5，则C的离心率为【】

设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=【】

已知双曲线y2+x2/m=1的渐近线方程为y=±√3/3 x，则m=__________．

已知双曲线x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b/4a的直线交双曲线于点A(x1,y1 )，交双曲线的渐近线于点B(x2,y2 )且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是_________．

双曲线x2/9-y2=1的实轴长为________.

已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(√7,0)，直线y=x-1与其相交于M,N两点，MN的中点横坐标为-2/3，则此双曲线的方程是【】

已知抛物线y2=4√5 x,F1,F2分别是双曲线x2/a-y2/b=1(a>0,b>0)的左右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A,，若∠F1 F2 A=π/4，则双曲线的标准方程是【】

双曲线

英：Find the equation to the normal to hyperbola x2/a2 -y2/b2 =1 at the point (x1,y1) . 汉：求双曲线x2/a2 -y2/b2 =1在点(x1,y1)处的法线方程.

The point of contact of a tangent to an hyperbola is midway between the points in which the tangent meets the asymptotes.

双曲线之切线与渐近线相交，试证切点移动其所包围之三角形之面积为常数.

Reduce the hyperbola 4x² - 9y² - 24x + 36y - 36 = 0 to standard form.

双曲线x²/100-y²/64=1的焦点为S,S1;，其中S位于x正半轴上. P为双曲线在第一象限上的一点，记∠SPS1=α,α<π/2. 过点S且斜率与双曲线在P点切线相同的直线，与直线S1 P交于P1点，记P到直线SP1的距离为δ,β=S1 P.则不超过βδ/9 sin⁡α/2的最大整数为______.

于双曲线4/3 (x-2)2-(y+1)2=1中,已知其一直径之斜度为1/3，试求此直径及其共轭直径之方程式，若以此二共轭直径为新坐标轴,试求双曲线之新方程式.

有圆锥曲线方程式为 5x² -4y² - 20x - 24y + 4= 0，试求其中心、焦点、渐近线、准线.

试证双曲线之两渐近线及任一切线所成之三角形之面积等于一常数.

在双曲线x2/a2 -y2/b2 =1上意一点 P作切线交此双曲线之两渐近线(asymptotes)在于Q及 R，若 O 为此双曲线之中心,试求 △OQR 外接圆心之轨迹.

设有等边双曲线 (equilateral hyperbola) xy =1.今于其上取三点 A,B,C 联成三角形，而 A,B,C 之横标 (abscissa) 依次为 a,b,c.(1).求证过 △ABC 三顶点作向对边之垂线会于一点(2).求出三垂线之交点坐标，并证明此交点在双曲线上.

平面解析几何

设S为抛物线y2=4x的焦点，过点P(-2,1)做抛物线的切线，切点分别为P1与P2，线段SP1上的点Q1与线段SP2上的点Q2满足PQ1⊥SP1,PQ2⊥SP2，则以下说法正确的是【】

英：Find the equation to the straight line which passes through the points(2,5)and (0,-7).汉：求过(2,5)和(0,-7)两点的直线方程.

英：Find the equations to the tangents to the ellipse 3x²+ y² = 3, inclined at angle of 45° to the axis of x.汉：求椭圆 3x²+y²=3之与x轴夹角为 45°的切线方程.

A,B,C are the angles of a triangle, prove that tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

A boy standing cft. behind and opposite the middle of a foothall goal sees that the angle of elevation of the nearer is A and the angle of elevation of the farther one is B. Show that the length of the field is c(tanAcotB-1).

Given the parabola y²=4x and the line x=2+ecosα,y=-4+ecosβ，find the condition which cosα and cosβ must satisfy if the line meets the parabola in but one point.

Find the locus of the point of intersection of lines drawn through the foci of an ellipse parallel to conjugate diameters.

求二直线y=m1x+c1,y=m2x+c2及y轴所包围之三角形之面积.

试讨论方程式 3y² + 2x + 1=0 所表示之曲线.

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).