问答题(2022年全国甲·文

设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.

答案解析

(1)抛物线的准线为x=-p/2,当MD与x轴垂直时,点M的横坐标为p,此时|MF|=p+p/2=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x;(2)设M(y12/4,y1 ),N(y22/4,y2 ),A(y32/4,y3 ),B(y42/4,y4 ),直线MN:x=my+1,由可得y2-4my-4=0,Δ>0,y1 y2=-4,由斜率公式可得kMN==4/(y1+y2 ),kAB==4/(y3+y4 ),直线MD:x=(x1-2)/y1 ⋅y+2,代入抛物线方程可得y2-4(x1-2)/y1 ⋅y-8=0,Δ>0,y1 y3=-8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1,所以kAB=4/(y3+...

查看完整答案

讨论