高中数学-高考试题(湖南省 1991年椭圆)

填空题（1991年湖南省）

椭圆9x² + 16y² = 144的离心率为______.

答案解析

/4

讨论

圆锥曲线

椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为1/4，则C的离心率为【】

已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的离心率为1/3，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若(BA1)⋅(BA2)=-1，则C的方程为【】

已知椭圆： E:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2√3．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|=2时，求k的值．

如图，已知椭圆x2/12+y2=1．设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q(0,1/2)在线段AB上，直线PA,PB分别交直线y=-1/2 x+3于C，D两点．（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（2）求|CD|的最小值．

已知Γ:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 (-√2,0),F2 (√2,0),A为Γ的下顶点，M为直线l:x+y-4√2=0上一点.(1)若a=2,AM的中点在x轴上，求点M的坐标；(2)直线l交y轴于点B，直线AM经过点F2，若△ABM有一个内角的余弦值为3/5，求b；(3)若椭圆Γ上存在点P到直线l的距离为d，且满足d+|PF1 |+|PF2 |=6，当a变化时，求d的最小值.

已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB的中点，点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动，且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图).问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值?若存在，求出这两点的坐标及此定值;若不存在，请说明理由.

已知椭圆方程x2/a2 +y2/b2 =1,F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，|BF|/|AB| =√3/2.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知直线l与椭圆有唯一交点M，直线l交y轴于点N,|OM|=|ON|,∆OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.

定义椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的辅助圆为x2+y2=a2.考虑椭圆x2/4+y2/3=1，点H(a,0),0<a<2. 在第一象限内，过H平行于y轴的直线与椭圆交于点E，与椭圆的辅助圆交于点F，椭圆在点E处的切线与x轴正半轴交于点G，过原点和F的直线与x轴正半轴的夹角为φ.列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ)若φ=π/4，则△FGH的面积为 (P) (√3-1)4/8(Ⅱ)若φ=π/3，则△FGH的面积为 (Q) 1(Ⅲ)若φ=π/6，则△FGH的面积为 (R) 3/4(Ⅳ)若φ=π/12，则△FGH的面积为 (S) 1/(2√3) (T) (3√3)/2正确的选项为【】

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).

设于椭圆上之 M(acosΦ,bsinΦ) 点，引与圆心 O之联线 OM，再由 M 点引正交于椭圆长轴之线 MP，复由 P引与 OM 正交之线 PQ.(1).求当 M 点沿圆线移动时 Q 点之轨迹.(2).讨论此轨迹之形状，并绘图以明之.

椭圆

从一抛物线之焦点引各切线之垂线，试求其垂足之轨迹.

椭圆9x²+y²=9与直线4x+y+5=0是否相切? 并说明其理由.

已知椭圆之方程为x²+9y²=40, 此椭圆存二切线与直线9x-y=0垂直，试求此二切线方程.

求一椭圆之垂直两切线之交点的轨迹

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 =1过点 A(−2, −1), 且 a = 2b.(I) 求椭圆 C 的方程;(II) 过点 B(−4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M, N, 直线 MA, NA 分别交直线 x = −4 于点 P, Q. 求 |PB|/|BQ|的值.

已知椭圆 x2/a2 +y2/b2 =1 (a > b > 0) 的一个顶点为 A(0, −3), 右焦点为 F , 且 |OA| = |OF|, 其中 O 为原点.(I) 求椭圆的方程;(II) 已知点 C 满足 3=, 点 B 在椭圆上 (B 异于椭圆的顶点), 直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点P , 且 P 为线段 AB 的中点. 求直线 AB 的方程.

已知椭圆 x2/4+y2/3=1 , 点 P 在第二象限, F 是其右焦点, PF 交椭圆于 Q, Q 关于 x 轴对称点 Q′, 且PF ⊥ FQ′, 直线 PF 的方程是_______________.

已知点 O(0, 0), A(−2, 0), B(2, 0). 设点 P 满足 |PA| − |PB| = 2, 且 P 为函数 y=3 图像上的点,则 |OP| =【】

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : x2/4+y2/3=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2⊥F1F2, 直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B.(1) 求 △AF1F2 的周长;(2) 在 x 轴上任取一点 P , 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q, 求 ∙的最小值;(3) 设点 M 在椭圆 E 上, 记 △OAB 与 △MAB 的面积分别为 S1, S2, 若 S2 = 3S1, 求点 M 的坐标.

证明自椭圆二焦点至其任意切线之垂直距离，其乘积为一常数.

平面解析几何

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinA:sinB:sinC=2:1:√2,b=√2.(1)求a的值；(2)求cosC的值；(3)求sin⁡(2C-π/6)的值.

已知△ABC，若对任意t∈R,|(BA)→-t(BC)→ |≥|(AC)→|，则△ABC一定为【】。

在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m,=n，则=【】

已知a→=(3,4),b→=(1,0),c→=a→+tb→，若<a→,c→>=<b→,c→>，则t=【】

设向量a，b的夹角的余弦值为1/3，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)⋅b=_________．

已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当AC/AB取得最小值时，BD=________．

已知平面直角坐标系中的点集Q={(x,y)|(x-k)2+(y-k2)2=4|k,k∈z}.①存在直线l与Q没有公共点，且Q中存在两点在l的两侧;②存在直线l经过Q中的无数个点则【】

已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0.当直线l被C截得的弦长为2√3时，a=【】

已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).一质点从AB的中点P_0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD,DA和AB上的点P2,P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1<x4<2，则tanθ的取值范围是【】

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(θ=arccos⁡(√2/10))方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?