高中数学-高考试题(全国统考 1983年椭圆)

问答题（1983年全国统考）

如图，已知椭圆长轴|A₁A₂ |=6，焦距|F₁F₂ |=4，过椭圆焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M,N，设∠F₂F₁M=α（0≤α<π），当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

答案解析

以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系. 由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=2/3，中心到准线距离=9/4，焦点到准线距离p=/4.椭圆的极坐标方程为ρ== ∴...

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讨论

圆锥曲线

设有等边双曲线 (equilateral hyperbola) xy =1.今于其上取三点 A,B,C 联成三角形，而 A,B,C 之横标 (abscissa) 依次为 a,b,c.(1).求证过 △ABC 三顶点作向对边之垂线会于一点(2).求出三垂线之交点坐标，并证明此交点在双曲线上.

Show that the tangent to a hyperbola makes equal angles with the focal radii drawn to the point of tangency.

求圆锥曲线 2x²-8xy - 4y² - 4y +1=0 之焦点及准线.

双曲线上一点与其两渐近线之阿离如何？并证此两距离相乘之积为常数.

过原点作直线垂直于双曲线 x²-y² = a² 上一切线，求垂足之轨迹之极坐标方程.

已知双曲线C:x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上，点B在y轴上，(F1 A) ➝⊥(F1 B) ➝,(F2 A) ➝=-2/3 (F2 B) ➝，则C的离心率为________.

已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为√2，则C的方程为____________.

设双曲线x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过F2作平等于y轴的直线交C于A,B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为______.

已知双曲线C的中心坐标为原点，左焦点为(-2√5,0)，离心率为√5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.

设 F1, F2 是双曲线 C : x2 −y2/3 = 1 的两个焦点, O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且 |OP| = 2, 则 △PF1F2 的面积为【】

椭圆

试求椭圆中诸平行弦之中点轨迹的方程式.

Find the locus of point which moves so that the sum of its distance from the points (-7, 4) and (9, 4) is always 20 units. Determine the center, foci, vertices,axis and eccentricity. Locate all points.

以(2,1)为焦点，直线3x-4y-5=0为准线，1/2为离心率的椭圆方程，求此椭圆主轴的长.

从一抛物线之焦点引各切线之垂线，试求其垂足之轨迹.

椭圆9x²+y²=9与直线4x+y+5=0是否相切? 并说明其理由.

已知椭圆之方程为x²+9y²=40, 此椭圆存二切线与直线9x-y=0垂直，试求此二切线方程.

求一椭圆之垂直两切线之交点的轨迹

试证椭圆的二共轭直径与一准线所作之三角形之垂心为一定点.

设椭圆C1:x²/a² +y²=1(a>1),C2:x²/4+y²=1的离心率分别为e1,e2，若e2=√3e1，则a=【】

已知椭圆C:x²/3+y²=1的左、右焦点分别为F1,F2，直线y=x+m与C交于A,B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m=【】

平面解析几何

若直线 l 与曲线 y = 和圆 x2 + y2 = 1/5 相切, 则 l 的方程为【】

已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点, 则• 的取值范围是【】

在 ① ac =, ② csin A = 3, ③ c = b 这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中, 若问题中的三角形存在, 求 c 的值; 若问题中的三角形不存在, 说明理由.问题：是否存在 △ABC, 它的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 sinA = sinB, C = π/6 ,__________?注：如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

已知正方形 ABCD 的边长为 2, 点 P 满足 =1/2(+) ,则|| =______ ; · =______ .

在 △ABC 中, a + b = 11, 再从条件 ①、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知, 求:(I) a 的值;(II) sin C 和 △ABC 的面积.条件 ①: c = 7, cos A = -1/7;条件 ②: cos A = 1/8, cos B = 9/16.注：如果选择条件 ① 和条件 ② 分别解答, 按第一个解答计分.

如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B = 60º, AB = 3, BC = 6, 且 =λ, ·= -3/2, 则实数 λ 的值为_____, 若 M, N 是线段 BC 上的动点, 且 || = 1, 则· 的最小值为______.

在 △ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a = 2√2, b = 5, c = .(I) 求角 C 的大小;(II) 求 sin A 的值;(III) 求 sin⁡(2A+π/4) 的值.

设 k ∈ N∗, 已知平面向量 a1, a2, b1, b2, · · · , bk 两两不同, |a1 − a2| = 1. 对于任意 i = 1, 2, j = 1, 2, 3,· · · , k, |ai − bj| ∈ {1, 2}, 则 k 的最大值是_______________.

已知单位向量 e1, e2 满足|e1-e2 |≤, 设 a = e1 + e2, b = 3e1 + e2, 向量 a, b 的夹角为 θ, 则 cos2θ的最小值为_______.

在锐角 △ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2bsinA − a = 0.(I) 求角 B;(II) 求 cosA + cosB + cosC 的取值范围.