1983年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷

一、选择题(本大题共5个小题,满分10分)

【第1题】两条异面直线,指的是【 】

A. 在空间内不相交的两条直线

B. 分别位于两个不同平面内的两条直线

C. 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线

D. 不在同一平面内的两条直线

【第2题】方程x2-y2=0表示的图形是【 】

A. 两条相交直线

B. 两条平行直线

C. 两条重合直线

D. 一个点

【第3题】三个数a,b,c不全为零的充要条件是【 】

A. a,b,c都不是零

B. a,b,c中最多有一个是零

C. a,b,c中只有一个是零

D. a,b,c中至少有一个不是零

【第4题】设α=4π/3,则arccos⁡(cosα)的值是【 】

A. 4π/3

B. -2π/3

C. 2π/3

D. π/3

【第5题】设0.32,log20.3,20.3,这三个数之间的大小顺序是【 】

A. 0.32<20.320.3

B. 0.3220.3<20.3

C. log20.3<0.32<20.3

D. log20.3<20.3<0.32

二、作图题(本题满分12分)

【第6题】在同一平面直角坐标系内,分别画出两个方程y=-,x=-的图形,并写出它们交点的坐标.

【第7题】在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.

三、(本题满分12分)

【第8题】已知y=e-xsin2x,求微分dy.

【第9题】一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学. 要从小组内选出3名代表,其中至少1名女同学,一共有多少种选法?

四、(本题满分12分)

【第10题】计算行列式(要求结果最简):

五、(本题满分15分)

【第11题】证明:对于任意实数t,复数z=+i的模r=|z|适合r≤.

【第12题】当实数t取什么值时,复数z=+i的辐角主值θ适合0≤θ≤π/4 ?

六、(本题满分15分)

【第13题】如图,在三棱锥S-ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC,求证:SC垂直于截面MAB.

七、(本题满分16分)

【第14题】如图,已知椭圆长轴|A1A2 |=6,焦距|F1F2 |=4,过椭圆焦点F1作一直线,交椭圆于两点M,N,设∠F2F1M=α(0≤α<π),当α取什么值时,|MN|等于椭圆短轴的长?

八、(本题满分16分)

【第15题】已知数列{an}的首项a1=b(b≠0),它的前n项的和Sn=a1+a2+⋯+an (n≥1),并且S1,S2,⋯,Sn,⋯是一个等比数列,其公比为p(p≠0,且|p|<1).

(Ⅰ) 证明:a2,a3,⋯,an,⋯(即{an}从第2项起)是一个等比数列.

(Ⅱ) 设Wn=a1 S1+a2 S2+⋯+an Sn (n≥1),求Wn(用b,p表示).

九、(本题满分12分)

【第16题】已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明 ab>ba.

【第17题】如果正实数a,b满足ab=ba,且a<1,证明 a=b.