2020年9月21-22日,第六十一届国际中学生数学奥林匹克竞赛开启大幕。来自中国、美国、波兰、比利时、韩国、匈牙利、加拿大、澳大利亚、德国、法国、中国香港、中国台湾、中国澳门、泰国、马来西亚、印度尼西亚、俄罗斯、乌克兰、克罗地亚、阿塞拜疆、白俄罗斯、哈萨克斯坦、乌孜别克斯坦、塔吉克斯坦、吉尔吉斯斯坦、土库曼斯坦、埃及、阿尔及利亚、塞尔维亚、南非、新西兰、印度、巴基斯坦、伊拉克、伊朗、朝鲜、土耳其、保加利亚、捷克、斯洛伐克等一百多个国家或地区的选手参加了角逐!

本次竞赛中,中国队以总分215分勇夺团体冠军,参加竞赛的6位队员奋力拼搏,获得5枚金牌1枚银牌。其中,李金珉(重庆巴蜀中学)、依嘉(女,中国人民大学附属中学)、饶睿(广东省华南师范大学附属中学)3人为北京大学数学院英才班学生,均在本届大赛中摘得金牌,且李金珉以唯一满分的成绩摘得金牌。

第Ⅰ试(9月21日 星期一)

【第1题】Consider the convex quadrilateral ABCD. The point P is in the interior of ABCD. The following ratio equalities hod:

∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.

Prove that the following three lines meet in a point : the internal bisectors of angles ∠ADP and ∠PCB and the perpendicular bisector of segment AB.

设P是凸四边形ABCD内部一点,且满足:

∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.

证明:∠ADP的内角平分线、∠PCB的内角平分线和线段AB的中垂线,三线共点。 

(波兰供题)

【第2题】The real numbers a,b,c,d are such that a≥b≥c≥d>0 and a+b+c+d=1.

Prove that (a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.

设实数a、b、c、d满足 a≥b≥c≥d>0 ,且 a+b+c+d=1 . 证明:

(a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.

(比利时供题)

【第3题】There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:

● The total weights of both piles are the same.

● Each pile contains two pebbles of each colour.

有 4n 枚石子,重量分别为 1 , 2 , 3 , … , 4n .每一枚小石子都染了n种颜色之一,使得每种颜色的小石子恰有四枚.证明:可以把这些小石子分成两堆,且满足以下两个条件:

● 两堆小石子的总重量相同;

● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚.

(匈牙利供题)

第Ⅱ试(9月22日 星期二)

【第4题】给定整数n > 1 .在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站.有两家缆车公司 A 和B,各运营 k 辆缆车;每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站) . A 公司的 k 辆缆车的k个起点互不相同, k 个终点也互不相同,并且起点较高的缆车,它的终点也较高. B 公司的缆车也满足相同的条件.我们称两个车站被某家公司连接,如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 

确定最小的正整数 k ,使得一定有两个车站被两家公司同时连接.

(印度供题)

【第5题】有一叠n>1 张卡片.在每张卡片上写有一个正整数.这叠卡片具有如下性质:其中任意两张上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.

确定所有的n,使得可以推出所有卡片上的数均相等.

(爱沙尼亚供题)

【第6题】证明:存在正常数c具有卜述性质:对任意整数n>1,以及平面上n个点的集合 S ,若 S中任意两点之间的距离不小于 1 ,则存在一条分离 S 的直线l , 使得 S 中的每个点到直线的距离不小于cn-1/3 . (我们称直线l分离点集 S , 如果某条以S中两点为端点的线段与l相交.)

注.如果证明了比cn-1/3 弱的估计cn ,会根据α>1/3 的值,适当给分.

(中国台湾供题)