本试题分选择题和非选择题两部分.

全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页; 非选择题部分 3 至 4 页. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.

考生注意:

1. 答题前, 请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定位置上.

2. 答题时, 请按照答题纸上“注意事项”的要求, 在答题纸相应位置上规范作答, 在本试卷上的作答一律无效.

参考公式:

如果事件 A, B 互斥,那么 P (A + B) = P (A) + P(B).

如果事件 A, B 相互独立,那么 P(AB) = P (A)P(B).

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

Pn(k) = Cknpk(1 − p)n−k (k = 0, 1, 2, · · · , n).

台体的体积公式: V = 1/3(S1 + √S1S2 + S2)h, 其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高.

柱体的体积公式: V = Sh,其中 S 表示柱体的底面面积, h 表示柱体的高.

锥体的体积公式: V = 1/3Sh,其中 S 表示锥体的底面面积, h 表示锥体的高.

球的表面积公式: S = 4πR2; 体积公式: V = 4/3πR3,其中 R 表示球的半径.

一、选择题(共 10 小题, 每小题 4 分, 共计 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)

【第1题】已知集合 P = {x | 1 < x < 4}, Q = {x | 2 < x < 3}, 则 P ∩ Q =【 】

A. {x | 1 < x ⩽ 2}

B. {x | 2 < x < 3}

C. {x | 3 ⩽ x < 4}

D. {x | 1 < x < 4}

【第2题】已知 a ∈ R, 若 a − 1 + (a − 2)i (i 为虚数单位) 是实数, 则 a =【 】

A. 1

B. -1

C. 2

D. -2

【第3题】若实数 x, y 满足约束条件 , 则 z = x + 2y 的取值范围是【 】

A. (−∞, 4]

B. [4, +∞)

C. [5, +∞)

D. (−∞, +∞)

【第4题】函数 y = x cos x + sin x 在区间 [−π, π] 的图像大致为【 】

A.

B.

C.

D.

【第5题】某几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则该几何体的体积 (单位: cm3) 是【 】

A. 7/3

B. 14/3

C. 3

D. 6

【第6题】已知空间中不过同一点的三条直线 l, m, n, 则“l, m, n 在同一个平面”是“l, m, n 两两相交”的【 】

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【第7题】已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 公差 d≠ 0, a1/d ⩽ 1. 记 b1 = S2, bn+1 = Sn+2 − S2n, n ∈ N, 下列不可能成立的是【 】

A. 2a4 = a2 + a6

B. 2b4 = b2 + b6

C. =a2 + a8

D. = b2 + b8

【第8题】已知点 O(0, 0), A(−2, 0), B(2, 0). 设点 P 满足 |PA| − |PB| = 2, 且 P 为函数 y=3 图像上的点,则 |OP| =【 】

A. /2

B. 4/5

C.

D.

【第9题】已知 a, b ∈ R 且 ab ≠ 0, 若 (x − a)(x − b)(x − 2a − b) ⩾ 0 在 x ⩾ 0 上恒成立, 则【 】

A. a < 0

B. a > 0

C. b < 0

D. b > 0

【第10题】设集合 S, T , S ⊆ N, T ⊆ N, S, T 中至少有两个元素, 且 S, T 满足:

① 对于任意 x, y ∈ S, 若 x≠ y, 都有 xy ∈ T ;

② 对于任意 x, y ∈ T , 若 x < y, 则 y/x∈ S. 

下列命题正确的是【 】

A. 若 S 有 4 个元素, 则 S ∪ T 有 7 个元素

B. 若 S 有 4 个元素, 则 S ∪ T 有 6 个元素

C. 若 S 有 3 个元素, 则 S ∪ T 有 5 个元素

D. 若 S 有 3 个元素, 则 S ∪ T 有 4 个元素

二、填空题(共 7 小题, 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分, 共 36 分.)

【第11题】我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题, 如数列 {n(n+1)/2} 就是二阶等差数列,数列{n(n+1)/2} (n ∈ N) 的前 3 项和是________.

【第12题】二项展开式 (1 + 2x)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5, 则 a4 = _______, a1 + a3 + a5 = _______.

【第13题】已知 tanθ = 2, 则 cos2θ = _______, tan(θ − π/4) = _______.

【第14题】已知圆锥的侧面积 (单位: cm2) 为 2π, 且它的侧面展开图是一个半圆, 则这个圆锥的底面半径 (单位: cm) 为_______.

【第15题】已知直线 y = kx + b (k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 和圆 (x − 4)2 + y2 = 1 均相切, 则 k = _______, b = _______.

【第16题】盒中有 4 个球, 其中 1 个红球, 1 个绿球, 2 个黄球, 从盒中随机取球, 每次取 1 个, 不放回, 直到取出红球为止, 设此过程中取到黄球的个数为 ξ, 则 P (ξ = 0) = ______, E(ξ) = ______.

【第17题】已知单位向量 e1, e2 满足|e1-e2 |≤, 设 a = e1 + e2, b = 3e1 + e2, 向量 a, b 的夹角为 θ, 则 cos2θ的最小值为_______.

三、解答题(共 5 小题, 共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

【第18题】在锐角 △ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2bsinA − a = 0.

(I) 求角 B;

(II) 求 cosA + cosB + cosC 的取值范围.

【第19题】如图, 三棱台 ABC − DEF 中, 平面 ACFD ⊥ 平面 ABC, ∠ACB = ∠ACD = 45°, DC = 2BC.

(I) 证明: EF ⊥ DB;

(II) 求 DF 与面 DBC 所成角的正弦值.

【第20题】已知数列 {an}, {bn}, {cn} 中, a1 = b1 = c1 = 1, cn+1 = an+1 − an, cn+1=bn/bn+2 ∙cn (n ∈ N).

(I) 若数列 {bn} 为等比数列, 且公比 q > 0, 且 b1 + b2 = 6b3, 求 q 的值及数列 {an} 的通项公式;

(II) 若数列 {bn} 为等差数列, 且公差 d > 0, 证明: c1 + c2 + … + cn < 1 +1/d , n ∈ N.

【第21题】如图, 已知椭圆 C1: x2/2+y2=1, 抛物线 C2: y2=2px (p > 0), 点 A 是椭圆 C1 与抛物线 C2 的交点, 过点 A的直线 l 交椭圆 C1 于点 B, 交抛物线 C2 于 M (B, M 不同于 A).

(I) 若 p=1/16 , 求抛物线 C2 的焦点坐标;

(II) 若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点, 求 p 的最大值.

【第22题】已知 1 < a ⩽ 2, 函数 f(x) = ex − x − a, 其中 e = 2.71828 … 为自然对数的底数.

(I) 证明: 函数 y = f(x) 在 (0, +∞) 上有唯一零点;

(II) 记 x0 为函数 y = f(x) 在 (0, +∞) 上的零点, 证明:

(i) ≤x0;

(ii) x0 f()≥(e-1)(a-1)a .