注意事项:

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.

1. 本试卷共 4 页, 均为非选择题 (第 1 题 ∼ 第 20 题, 共 20 题). 本卷满分为 160 分, 考试试卷为 120 分钟. 考

试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回.

2. 答题前, 请务必将自己的姓名, 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4. 作答试题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其他位置作答一律无效.

5. 如需作图, 须用 2B 铅笔绘、写清楚, 线条、符号等须加黑、加粗.

参考公式:

柱体的体积 V = Sh, 其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高.

一、填空题(共 14 小题, 每小题 5 分, 共计 70 分, 请把答案填写在答题卡相应位置上.)

【第1题】已知集合 A = {−1, 0, 1, 2}, B = {0, 2, 3}, 则 A ∩ B =__________.

【第2题】已知 i 是虚数单位, 则复数 z = (1 + i)(2 − i) 的实部是______.

【第3题】已知一组数据 4, 2a, 3 − a, 5, 6 的平均数为 4, 则 a 的值是______.

【第4题】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次, 观察向上的点数, 则点数和为 5 的概率是______.

【第5题】如图是一个算法流程图, 若输出 y 的值为 −2, 则输入 x 的值是______.

【第6题】在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 x2/a2 -y2/5=1 (a > 0) 的一条渐近线方程为 y=/2 x , 则该双曲线的 离心率是_______.

【第7题】已知 y = f(x) 是奇函数, 当 x ⩾ 0 时, f(x) = x2/3 , 则 f(−8) 的值是______.

【第8题】已知sin2(π/4+α)=2/3, 则sin2α的值是_______.

【第9题】如图, 六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的. 已知螺帽的底面正六边形边长为 2cm, 高 为 2cm, 内孔半径为 0.5cm, 则此六角螺帽毛坯的体积是 __________cm3.

【第10题】将函数y=3sin⁡(2x+π/4)的图象向右平移 π/6 个单位长度, 则平移后的图像中与 y 轴最近的对称轴的方程是__________.

【第11题】设 {an} 是公差为 d 的等差数列, {bn} 是公比为 q 的等比数列. 已知 {an + bn} 的前 n 项和为 Sn = n2 − n + 2n − 1 (n ∈ N), 则 d + q 的值是______.

【第12题】已知 5x2y2 + y4 = 1 (x, y ∈ R), 则 x2 + y2 的最小值是________.

【第13题】在 △ABC 中, AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 90º, D 在边 BC 上, 延长 AD 到 P , 使得 AP = 9. 若=m+(3/2-m) (m 为常数), 则 CD 的长度是__________.

【第14题】在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 P(/2,0), A、 B 是圆 C : x2+(y-1/2)2=36上的两个动点, 满足 P A = P B, 则 △P AB 面积的最大值是______.

二、解答题(共 6 小题, 共 90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

【第15题】在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, AB ⊥ AC, B1C ⊥ 平面 ABC, E, F 分别是 AC, B1C 的中点.

(1) 求证: EF // 平面 AB1C1;

(2) 求证: 平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1.

【第16题】在 △ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 已知 a = 3, c = , B = 45º.

 

(1) 求 sinC 的值;

(2) 在边 BC 上取一点 D, 使得 cos∠ADC =-4/5, 求 tan∠DAC 的值.

【第17题】某地准备在山谷中建一座桥梁, 桥址位置的竖直截面图如图所示: 谷底 O 在水平线 MN 上, 桥 AB 与 MN平行, OO′为铅垂线 (O′在 AB 上), 经测量, 左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h1 (米) 与 D 到 OO′ 的距离 a (米) 之间满足关式 h1=1/40 a2 ; 右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2 (米) 与 F 到 OO′的距离 b (米)之间满足关系式 h2=-1/800 b3+6b . 已知点 B 到 OO′的距离为 40 米.

(1) 求桥 AB 的长度;

(2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′的桥墩 CD 和 EF , CE 为 80 米, 其中 C, E 在 AB 上 (不包括端点), 桥墩 EF 每米造价 k (万元), 桥墩 CD 每米造价 3/2 k (万元) (k > 0), 问 O′E为多少米时, 桥墩 CD 与 EF 的总造价最低?

【第18题】在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : x2/4+y2/3=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2⊥F1F2, 直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B.

(1) 求 △AF1F2 的周长;

(2) 在 x 轴上任取一点 P , 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q, 求 的最小值;

(3) 设点 M 在椭圆 E 上, 记 △OAB 与 △MAB 的面积分别为 S1, S2, 若 S2 = 3S1, 求点 M 的坐标.

【第19题】已知关于 x 的函数 y = f(x), y = g(x) 与 h(x) = kx + b (k, b ∈ R) 在区间 D 上恒有 f(x) ⩾ h(x) ⩾ g(x).

(1) 若 f(x) = x2 + 2x, g(x) = −x2 + 2x, D = (−∞, +∞), 求 h(x) 的表达式;

(2) 若 f(x) = x2 − x + 1, g(x) = k ln x, h(x) = kx − k, D = (0, +∞), 求 k 的取值范围;

(3) 若 f(x) = x4−2x2, g(x) = 4x2−8, h(x) = 4(t3−t)x−3t4+2t2 (0 < |t| ⩽), D = [m, n] ⊂ [-, ].

求证: n − m ⩽.

三、选做题(本题包括 A、 B、 C 三小题, 请选定其中两小题, 并在相应的答题区域内作答. 若多做, 则按作 答的前两小题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

四、必做题(每题 10 分, 共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.)