1984年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷

一、选择题(本题满分15分,共5小题)

【第1题】数值X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是【 】。

A. X ⊂ Y

B. X ⊃ Y

C. X = Y

D. X ≠ Y

【第2题】如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么【 】。

A. F=0,G≠0,E≠0

B. E=0,F=0,G≠0

C. G=0,F=0,E≠0

D. G=0,E=0,F≠0

【第3题】如果n是正整数,那么1/8[1-(-1)n](n2-1)的值【 】

A. 一定是零

B. 一定是偶数

C. 是整数但不一定是偶数

D. 不一定是整数

【第4题】arccos(-x)大于arccosx的充要条件是【 】

A. x∈(0,1]

B. x∈(0,1)

C. x∈[0,1]

D. x∈[0,π/2]

【第5题】如果θ是第二象限角,且满足cos(θ/2)-sin(θ/2)=,那么θ/2 【 】

A. 是第一象限角

B. 是第三象限角

C. 可能是第一象限角,也可能是第三象限角

D. 是第二象限角

二、计算题(本题满分24分,共6小题,只要求直接写出结果)

【第6题】已知圆柱的侧面展开图是连长为2与4的矩形,求圆柱的体积.

【第7题】函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?

【第8题】求方程(sinx+cosx)2=1/2的解集.

【第9题】求(|x|+1/|x| -2)3的展开式中的常数项.

【第10题】求的值.

【第11题】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相信,问:有多少种不同的排法?(只要写出式子,不必计算)

三、作图题(本题满分12分,本题只要求画出图形)

【第12题】设,画出函数y=H(x-1)的图像.

【第13题】画出极坐标方程(ρ-2)(θ-π/4)=0(ρ>0)的曲线.

四、(本题满分12分)

【第14题】已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.

五、(本题满分14分)

【第15题】设c,d,x为实数,c≠0,x为未知数.讨论方程 = -1在什么情况下有解.有解时求出它的解.

六、(本题满分16分)

【第16题】设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2.求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

【第17题】求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为1/2的椭圆的左顶点的轨迹方程.

七、(本题满分15分)

【第18题】在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且c=10,  cosA/cosB=b/a=4/3, P为△ABC的内切圆上的动点.求点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值与最小值.

八、(本题满分12分)

【第19题】设a>2,给定数列{xn},其中x= a,xn+1=(xn2)/(2(xn-1))  (n=1,2,…),求证:

(1) xn>2,且xn+1/xn < 1(n=1,2,…);

(2) 如果a≤3,那么x≤ 2+1/2n-1 (n=1,2,…);

(3) 如果a>3,那么当n ≥ (lga/3)/(lg4/3)时,必有xn+1<3.

九、附加题(本题满分10分,不计入总分)

【第20题】如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为2/3AP,直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时,点P的速度为v,求这时点M的速度.