设a>2，给定数列{xn},其中x1 = a,xn+1=(xn2)/(2(xn-1)) (n=1,2,…),求证：
(1) xn>2,且xn+1/xn < 1(n=1,2,…);
(2) 如果a≤3,那么xn ≤ 2+1/2n-1 (n=1,2,…);
(3) 如果a>3,那么当n ≥ (lga/3)/(lg4/3)时，必有xn+1<3.
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证明题（1984年全国统考）
答案解析
(1) 先证明xn>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件a>2及x1=a知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知xk+1>2⇔xk2-4xk+4>0⇔(xk-2)2>0,再由归纳假设知不等式(xk-2)2>0成立.从而不等式xn>2对所有的正整数n成立.也可以这样证：由已知条件, xk+1=1/2 [(xk-1)+1/(xk-1)+2]>1/2 (2+2)=2.所以不等式xn>2(n=1,2,…)成立.再证明xn+1/xn <1(n=1,2,…).由条件xn>2(n=1,2,…)知xn+1/xn <1⇔xn/(2(xn-1))<1⇔xn>2.因此不等式xn+1/xn <1(n=1,2,…)也成立.(2) 用数学归纳法.由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及xk>2知xk+1≤...
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在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且c=10, cosA/cosB=b/a=4/3, P为△ABC的内切圆上的动点.求点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值与最小值.
求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为1/2的椭圆的左顶点的轨迹方程.
设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2.求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.
设c,d,x为实数，c≠0,x为未知数.讨论方程 = -1在什么情况下有解.有解时求出它的解.
已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.
画出极坐标方程(ρ-2)(θ-π/4)=0(ρ>0)的曲线.
要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相信，问：有多少种不同的排法？（只要写出式子，不必计算）
用数学归纳法证明下列恒等式 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²
用数学归纳法求下列级数1/(1×2)+1/(2×3 )+1/(3×4)+⋯至n项之和.
给定整数n≥2，设M0 (x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.
设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯，M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明：M=[-2,1/4].
若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________.