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证明题（2001年全国统考）

已知i,m,n是正整数，且1<i≤m<n.

（Ⅰ）证明 niAim<miAin；

（Ⅱ）证明 (1+m)n>(1+n)m.

答案解析

（Ⅰ）对于1<i≤m，有Ami=m∙⋯∙(m-i-1),(Ami)/mi =m/m∙(m-1)/m∙⋯∙(m-i+1)/m,同理(Ani)/ni =n/n∙(n-1)/n∙⋯∙(n-i+1)/n,由于m<n，对整数k=1,2⋯,i-1,有(n-k)/n>(m-k)/m,所以(Ani)/ni >(Ami)/mi ，即mi Ani>ni Ami.（Ⅱ）由二项式定理由(1+m)n>mi Cni,(1+...

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讨论

基本不等式

已知 a > 0, b > 0, 且 a + b = 1, 则【 】

已知 a, b ∈ R 且 ab ≠ 0, 若 (x − a)(x − b)(x − 2a − b) ⩾ 0 在 x ⩾ 0 上恒成立, 则【 】

设an=++⋯+ (n=1,2,⋯).(Ⅰ) 证明不等式n(n+1)/2<an<(n+1)2/2对所有的正整数n都成立.(Ⅱ) 设bn<an/[n(n+1)](n=1,2,⋯)，用极限定义证明bn =1/2.

解不等式2 + (5-x) + log2(1/x) > 0.

不等式>3-2x的解集是__________.

解不等式 loga⁡(1-1/x)>1.

若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________.

解不等式<2logax - 1(a>0,a≠1).

若a>b>1,p=,Q=(lga+lgb),R=lg((a+b)/2),则【 】

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

二项式定理

求(|x|+1/|x| -2)3的展开式中的常数项.

设 (3x-1)6=a6 x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.

求(2x3-1/x2 )5展开式中的常数项.

若(1+x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n.

在(x-)10的展开式中，x6的系数是【 】

已知(1-2x)7=a0+a1 x+a2 x2+⋯+a7 x7，那么a1 x+a2+⋯+a7=__________.

(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数等于______.

已知(x+a)7的展开式中，x4的系数是-280，则a=______.

在(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a>1，那么a=________.

展开式的常数项为【 】

不等式

不等式 < 1的解集是__________.

设函数f(x)= - ax,其中a>0.(I)解不等式f(x)≤1;(II)求a的取值范围，使函数f(x）在区间[0，+∞)上是单调函数.

设 a, b, c ∈ R, a + b + c = 0, abc = 1.(1) 证明: ab + bc + ca < 0;(2) 用 max{a, b, c} 表示 a, b, c 的最大值, 证明: max{a, b, c} ⩾.

不等式组的解集是【 】

有一叠n>1 张卡片．在每张卡片上写有一个正整数．这叠卡片具有如下性质：其中任意两张上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值．确定所有的n，使得可以推出所有卡片上的数均相等．(爱沙尼亚供题)

若实数 x, y 满足约束条件 , 则 z = x + 2y 的取值范围是【 】

The real numbers a,b,c,d are such that a≥b≥c≥d>0 and a+b+c+d=1.Prove that (a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.设实数a、b、c、d满足 a≥b≥c≥d>0 ，且 a+b+c+d=1 . 证明：(a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.(比利时供题)

湖南省二元一次不等式组

若实数a,b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是【 】

解不等式>x+a,(a>0)并就图说明之.