高中数学-高考试题(全国统考 1993年基本不等式)

计算题（1993年全国统考）

解不等式2 + (5-x) + log₂(1/x) > 0.

答案解析

原不等式等价于

解得

所以原不等式的解集为{x│0<x<1}∪{x|4<x<5}.

讨论

基本不等式

已知 a, b ∈ R, 则下列各式正确的是【】

已知 a, b ∈ R 且 ab ≠ 0, 若 (x − a)(x − b)(x − 2a − b) ⩾ 0 在 x ⩾ 0 上恒成立, 则【】

若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________.

解不等式<2logax - 1(a>0,a≠1).

已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.

已知函数 f(x) = 2x − x − 1, 则不等式 f(x) > 0 的解集是【】

已知 a > 0, b > 0, 且 ab = 1, 则 1/(2a)+1/(2b)+8/(a+b)的最小值为_______.

设an=++⋯+ (n=1,2,⋯).(Ⅰ) 证明不等式n(n+1)/2<an<(n+1)2/2对所有的正整数n都成立.(Ⅱ) 设bn<an/[n(n+1)](n=1,2,⋯)，用极限定义证明bn =1/2.

当sin2x>0时，求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.

已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式logax - 4loga2x + 12loga3x + ⋯ + n(-2)n-1loganx > (1-(-2)n)/3·loga(x2 - a).

对数函数

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)【】

已知log10⁡2=0.30103，试求下列对数之值

logba·logab = 1.

噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级Lp=20×lg⁡(p/p0)，其中常数p0 (p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则【】

函数y=10lgx中，x的取值范围是__________.

已知a,b为实数，并且e<a<b，其中e是自然对数的底，证明 ab>ba.

设c,d,x为实数，c≠0,x为未知数.讨论方程 = -1在什么情况下有解.有解时求出它的解.

设对所有实数x，不等式x2log2 4(a+1)/a+2xlog2 2a/(a+1)+log2 (a+1)2/(4a2)>0恒成立，求a的取值范围.

设a>0,a≠1,t>0，比较1/2logat与loga (t+1)/2的大小，并证明你的结论.

已知a>0,a≠1，试求使方程loga(x-ak)=(x2-a2)有解的k的取值范围.

不等式

若 x, y 满足约束条件则 z = x + 7y 的最大值为 __________.

若 x, y 满足约束条件 , 则 z = x + 2y 的最大值是__________.

若 x, y 满足约束条件, 则 z = 3x + 2y 的最大值是__________.

设a²+b²+c²=1,x²+y²+z²=1，证ax+by+cz≤1.

有一叠n>1 张卡片．在每张卡片上写有一个正整数．这叠卡片具有如下性质：其中任意两张上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值．确定所有的n，使得可以推出所有卡片上的数均相等．(爱沙尼亚供题)

设 a, b, c ∈ R, a + b + c = 0, abc = 1.(1) 证明: ab + bc + ca < 0;(2) 用 max{a, b, c} 表示 a, b, c 的最大值, 证明: max{a, b, c} ⩾.

The real numbers a,b,c,d are such that a≥b≥c≥d>0 and a+b+c+d=1.Prove that (a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.设实数a、b、c、d满足 a≥b≥c≥d>0 ，且 a+b+c+d=1 . 证明：(a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.(比利时供题)

已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.

f(x) =| x − a2 |+ |x − 2a + 1| .(1) 当 a = 2 时, 求不等式 f(x) ⩾ 4 的解集.(2) f(x) ⩾ 4, 求 a 的取值范围.

若实数 x, y 满足约束条件 , 则 z = x + 2y 的取值范围是【】