高中数学-高考试题(北京市 2020年基本不等式)

单项选择（2020年北京市）

已知函数 f(x) = 2^x − x − 1, 则不等式 f(x) > 0 的解集是【】

A、(−1, 1)

B、(−∞, −1) ∪ (1, +∞)

C、(0, 1)

D、(−∞, 0) ∪ (1, +∞)

答案解析

D

讨论

高中数学

已知半径为 1 的圆经过点 (3, 4), 则其圆心到原点的距离的最小值为【】

某三棱柱的底面为正三角形, 其三视图如图所示, 该三棱柱的表面积为【】

在 ( - 2)5 的展开式中, x2 的系数为【】

在复平面内, 复数 z 对应的点的坐标是 (1, 2), 则 i · z =【】

已知集合 A = {−1, 0, 1, 2}, B = {x | 0 < x < 3}, 则 A ∩ B =【】

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为/2 , 且过点 A(2, 1).(1) 求 C 的方程;(2) 点 M, N 在 C 上, 且 AM ⊥ AN, AD ⊥ MN, D 为垂足. 证明: 存在定点 Q, 使得 |DQ| 为定值.

已知函数 f(x) = aex−1 − ln x + ln a.(1) 当 a = e 时, 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2) 若 f(x) ⩾ 1, 求 a 的取值范围.

如图, 四棱锥 P − ABCD 的底面为正方形, PD ⊥ 底面 ABCD. 设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l.(1) 证明: l ⊥ 平面 P DC;(2) 已知 PD = AD = 1, Q 为 l 上的点, 求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值.

为加强环境保护, 治理空气污染, 环境监测部门对某市空气质量进行调研, 随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5和SO2 浓度 (单位: ug/m3), 得下表:(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75, 且SO2 浓度不超过 150”的概率;(2) 根据所给数据, 完成下面的 2 × 2 列联表:(3) 根据 (2) 中的列联表, 判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与SO2 浓度有关?附：

已知公比大于 1 的等比数列 {an} 满足 a2 + a4 = 20, a3 = 8.(1) 求 {an} 的通项公式;(2) 记 bm 为 {an} 在区间 (0, m] (m ∈ N∗) 中的项的个数, 求数列 {bm} 的前 100 项和 S100.

基本不等式

已知 a > 0, b > 0, 且 a + b = 1, 则【】

不等式>3-2x的解集是__________.

解不等式 loga⁡(1-1/x)>1.

若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________.

若a>b>1,p=,Q=(lga+lgb),R=lg((a+b)/2),则【】

解关于x的不等式(x-a)/(x-a2 )<0(a∈R).

不等式(x-1)/(x-3)>0的解集为【】

解不等式>x+a,(a>0)并就图说明之.

已知实数a1,a2,⋯,an>0，求证：ai-1/ai ≥(ai-1+ai+1)/(ai+ai+1+1)其中a0=an,an+1=an.

正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.

不等式

已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.

f(x) =| x − a2 |+ |x − 2a + 1| .(1) 当 a = 2 时, 求不等式 f(x) ⩾ 4 的解集.(2) f(x) ⩾ 4, 求 a 的取值范围.

若 x, y 满足约束条件 , 则 z = x + 2y 的最大值是__________.

若 x, y 满足约束条件, 则 z = 3x + 2y 的最大值是__________.

设 a, b, c ∈ R, a + b + c = 0, abc = 1.(1) 证明: ab + bc + ca < 0;(2) 用 max{a, b, c} 表示 a, b, c 的最大值, 证明: max{a, b, c} ⩾.

设函数f(x)= - ax,其中a>0.(I)解不等式f(x)≤1;(II)求a的取值范围，使函数f(x）在区间[0，+∞)上是单调函数.

若实数x,y满足，则z=x-1/2 y的最小值是【】

已知a,b,c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b=2c，则1/a+1/c≥3.

已知a,b,c为正数，且a3/2+b3/2+c3/2=1.证明：(1)abc≤1/9;(2) a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤1/(2).

若x,y满足约束条件，则z=2x-y的最大值是【】