高中数学-高考试题(全国乙·理 2022年柯西不等式*)

证明题（2022年全国乙·理；2022年全国乙·文）

已知a,b,c为正数，且a^3/2+b^3/2+c^3/2=1.证明：

(1)abc≤1/9;

(2) a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤1/(2).

答案解析

(1)∵a,b,c为正数，∴a3/2+b3/2+c3/2≥3=3，当a=b=c=3-2/3时取等号，∴3√abc≤1，即abc≤1/9.(2)∵a,b,c为正数，∴a+b≥2√ab,b+c≥2√bc,a+c≥2√ac，当且仅当a=b=c=3-2/3时，取等号，∴(a3/2 √bc)/(b...

查看完整答案

讨论

基本不等式

已知 a > 0, b > 0, 且 ab = 1, 则 1/(2a)+1/(2b)+8/(a+b)的最小值为_______.

设an=++⋯+ (n=1,2,⋯).(Ⅰ) 证明不等式n(n+1)/2<an<(n+1)2/2对所有的正整数n都成立.(Ⅱ) 设bn<an/[n(n+1)](n=1,2,⋯)，用极限定义证明bn =1/2.

当sin2x>0时，求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.

已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式logax - 4loga2x + 12loga3x + ⋯ + n(-2)n-1loganx > (1-(-2)n)/3·loga(x2 - a).

解不等式2 + (5-x) + log2(1/x) > 0.

不等式>3-2x的解集是__________.

解不等式 loga⁡(1-1/x)>1.

若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________.

解不等式<2logax - 1(a>0,a≠1).

若a>b>1,p=,Q=(lga+lgb),R=lg((a+b)/2),则【】

柯西不等式*

已知a,b,c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b=2c，则1/a+1/c≥3.

设 a, b, c ∈ R, a + b + c = 0, abc = 1.(1) 证明: ab + bc + ca < 0;(2) 用 max{a, b, c} 表示 a, b, c 的最大值, 证明: max{a, b, c} ⩾.

有一叠n>1 张卡片．在每张卡片上写有一个正整数．这叠卡片具有如下性质：其中任意两张上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值．确定所有的n，使得可以推出所有卡片上的数均相等．(爱沙尼亚供题)

The real numbers a,b,c,d are such that a≥b≥c≥d>0 and a+b+c+d=1.Prove that (a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.设实数a、b、c、d满足 a≥b≥c≥d>0 ，且 a+b+c+d=1 . 证明：(a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.(比利时供题)

设a²+b²+c²=1,x²+y²+z²=1，证ax+by+cz≤1.

执行下面的流程图，输出的n=【】

在直角坐标系xOy中，⨀C的圆心为C(2,1)，半径为1.(1)写出⨀C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⨀C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则【】

以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ ( 写出符合要求的一组答案即可).

已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>-a，求a的取值范围.

不等式

已知实数x,y满足，则z=x-y的最大值为__________.

已知x1,y1,x2,y2,x3,y3同时满足①x1<y1,x2<y2,x3<y3；②x1+y1=x2+y2=x3,y3；③x1 y1+x3 y3=2x2 y2，以下选项恒成立的是【】

设a=log20.3,b=log1/20.4,c=0.40.3，则a,b,c的大小关系为【】

设a=0.1e0.1,b=1/9,c=-ln0.9，则【】

已知a=31/32,b=cos⁡1/4,c=4 sin⁡1/4，则【】

已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则【】

若 2x − 2y < 3−x − 3−y, 则【】

设 a = log32, b = log53, c = 2/3, 则【】

已知 55 < 84, 134 < 85. 设 a = log53, b = log85, c = log138, 则【】

设 a = 30.7, b =(1/3)-0.8, c =log0.7⁡0.8, 则 a, b, c 的大小关系为【】