高中数学-高考试题(山东省 2020年棱锥)

问答题（2020年山东省）

如图, 四棱锥 P − ABCD 的底面为正方形, PD ⊥ 底面 ABCD. 设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l.

(1) 证明: l ⊥ 平面 P DC;

(2) 已知 PD = AD = 1, Q 为 l 上的点, 求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值.

答案解析

(1) 因为 PD⊥底面 ABCD, 所以 PD⊥AD.又底面 ABCD 为正方形, 所以 AD⊥DC. 因此 AD⊥平面 P DC.因为 AD // BC, AD ⊄ 平面 PBC, 所以 AD // 平面 PBC. 由已知得 l // AD.因此, l⊥平面 PDC.(2) 以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 D − xyz. 则 D(0, 0, 0),C(0, 1, 0), B(1, 1...

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讨论

高中数学

为加强环境保护, 治理空气污染, 环境监测部门对某市空气质量进行调研, 随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5和SO2 浓度 (单位: ug/m3), 得下表:(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75, 且SO2 浓度不超过 150”的概率;(2) 根据所给数据, 完成下面的 2 × 2 列联表:(3) 根据 (2) 中的列联表, 判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与SO2 浓度有关?附：

已知公比大于 1 的等比数列 {an} 满足 a2 + a4 = 20, a3 = 8.(1) 求 {an} 的通项公式;(2) 记 bm 为 {an} 在区间 (0, m] (m ∈ N∗) 中的项的个数, 求数列 {bm} 的前 100 项和 S100.

在 ① ac =, ② csin A = 3, ③ c = b 这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中, 若问题中的三角形存在, 求 c 的值; 若问题中的三角形不存在, 说明理由.问题：是否存在 △ABC, 它的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 sinA = sinB, C = π/6 ,__________?注：如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

已知直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的棱长均为 2, ∠BAD = 60◦. 以 D1 为球心, 为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为__________.

某中学开展劳动实习, 学生加工制作零件, 零件的截面如图所示. O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心, A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点, B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点, 四边形 DEFG 为矩形, BC⊥DG, 垂足为 C, tan∠ODC = 3/5, BH//DG, EF = 12cm, DE = 2cm, A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm, 圆孔半径为 1 cm, 则图中阴影部分的面积为 __________c㎡.

将数列 {2n − 1} 与 {3n − 2} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}, 则 {an} 的前 n 项和为 __________.

斜率为的直线过抛物线 C : y2 = 4x 的焦点, 且与 C 交于 A, B 两点, 则 |AB| =______.

信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 X 所有可能的取值为 1, 2, … , n, 且 P (X = i) = pi >0 (i = 1, 2, …, n), =1, 定义 X 的信息熵 H(X) = −log2 pi.【】

已知 a > 0, b > 0, 且 a + b = 1, 则【】

如图是函数 y = sin(ωx +φ) 的部分图像, 则 sin(ωx +φ) =【】

棱锥

如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．（1）求证：OE//平面PAC；（2）若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3．（1）证明：BD⊥PA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T={ Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为【】

如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC中点，PO⊥平面ABC，AP=AC=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角的大小.

P -ABC 为一正三角锥，其底面三角形 ABC 正三角形之每边为 10 尺，而APB、BPC、CPA 三个面角均为 30°，求此三角锥之高.

设一四面体有一三面角与另一四面体的一三面角对称，求证：其体积之比等于此两三面角三棱分别的乘积之比.

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一, 它的形状可视为一个正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为【】

如图, 在三棱锥 P − ABC 的平面展开图中, AC = 1, AB = AD = , AB ⊥ AC, AB ⊥ AD,cos ∠CAE = 30◦, 则 cos ∠FCB = __________.

已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=,BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是【】

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．(1) 证明：平面PAM⊥平面 PBD；(2) 若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD 的体积.

立体几何

下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有【】

在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=√2，则该棱台的体积为______.

底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______.

如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为2，在正方形ABEF的内切圆上任取一点P1，在正方形BCGF的内切圆上任取一点P2，在正方形EFGH的内切圆上任取一点P3，求|P1 P2 |+|P2 P3 |+|P3 P1 |的最小值与最大值.

在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°。若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________(精确到0.1m)。

建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元。

设圆锥底面圆周上两点A,B间的距离为2,圆锥顶点到直线AB的距离为,AB和圆锥的轴的距离为1,则该圆锥的体积为________.

母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心用ϕ等于【】

圆台上、下底面积分别为π,4π侧面积为6π,这个圆台的体积是【】

已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为【】