2001年普通高等学校招生全国统一考试(高考)数学试卷(旧课程)

一、选择题(每小题5分,共60分)

第1题】若sinθcosθ>0,则θ在【 】

A. 第一、二象限

B. 第一、三象限

C. 第一、四象限

D. 第二、四象限

第2题】过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是【 】

A. (x-3)2+(y+1)2=4

B. (x+3)2+(y-1)2=4

C. (x-1)2+(y-1)2=4

D. (x+1)2+(y+1)2=4

第3题】设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是【 】

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

第4题】若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a⁡(x+1))满足f(x)>0,则a的取值范围是【 】

A. (0,1/2)

B. (0,1/2]

C. (1/2.+∞)

D. (0,+∞)

第5题】极坐标方程ρ=2sin⁡(θ+π/4)的图形是【 】

A.

B.

C.

D.

第6题】函数y=cos⁡x+1(-π≤x≤0)的反函数是【 】

A. y=-arccos⁡(x-1) (0≤x≤2)

B. y=π-arccos⁡(x-1) (0≤x≤2)

C. y=arccos⁡(x-1) (0≤x≤2)

D. y=π+arccos⁡(x-1) (0≤x≤2)

第7题】若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为【 】

A. 3/4

B. 2/3

C. 1/2

D. 1/4

第8题】若0<α<β<π/4,sin⁡α+cos⁡α=a,sin⁡β+cos⁡β=b,则【 】

A. a<b

B. a>b

C. ab<1

D. ab>2

第9题】在正三棱锥ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为【 】

A. 60°

B. 90°

C. 105°

D. 75°

第10题】设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题:

①若f(x)单调递增, g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;

②若f(x)单调递增, g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;

③若f(x)单调递减, g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;

④若f(x)单调递减, g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减;

其中,正确的命题是【 】

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

第11题】一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜; ②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3.

 

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则【 】

A. P3>P2>P1

B. P3>P2=P1

C. P3=P2>P1

D. P3=P2=P1

第12题】如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【 】

A. 26

B. 24

C. 20

D. 19

二、填空题(每小题4分,共16分)

第13题】若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积是________.

第14题】双曲线x2/9 - y2/16=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为________.

第15题】设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,则q=________.

第16题】圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为__________.

三、解答题(共6小题,共74分)

第17题】如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2.

 

(I)求四棱锥S-ABCD的体积;

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.

第18题】已知复数z1=i⁡(1-i)3.

(Ⅰ)求argz1及|z1|;

(Ⅱ)当复数z满足|z|=1,求|z - z1|的最大值.

第19题】设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴.证明AC经过原点O.

第20题】已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n.

(Ⅰ)证明 niAim<miAin

(Ⅱ)证明 (1+m)n>(1+n)m.

第21题】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投人将比上年减少1/5.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1/4.

( I )设n年内(本年度为第一年)总投人为an万元,旅游业总收人为bn万元.写出an,bn的表达式.

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

第22题】设f(x)是定义R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意x_1,x_2∈[0,1/2],都有

f(x1+x2 )=f(x1)f(x2),且f(1)=a>0.

(Ⅰ)求f(1/2)及f(1/4);

(Ⅱ)证明f(x)是周期函数;

(Ⅲ)记an=f(2n+1/2n),求 (lnan).