2000年普通高等学校招生全国统一考试(高考)数学试卷(上海卷)

一、填空题(每小题4分,共48分)

第1题】已知向量=(-1,2),=(3,m),若,则m=________.

第2题】函数y=log2 (2x-1)/(3-x)的定义域为__________.

第3题】圆锥曲线的焦点坐标是________.

第4题】计算:(n/n+2)n=________.

第5题】已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像经过点Q(5,2),则b=______.

第6题】根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP预期增长9%.市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%.若GDP与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍,至少需______年.(按:1999年本市常住人口总数约1300万)

第7题】命题A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.

命题A的等价命题B可以是:底面为正三角形,且____________________的三棱锥是正三棱锥.

第8题】设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图像为如图所示的线段AB,则在区间[1,2]上,f(x)=__________.

第9题】在二项式(x-1)11的展开式中,系数最小的项的系数为________.(结果用数值表示)

第10题】有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2和3.现任取出3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是________.

第11题】在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A,B两点,则|AB|=________.

第12题】在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+⋯+an=a1+a2+⋯+a19-n (n<19,n∈N)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式____________成立.

二、选择题(每小题4分,共16分)

第13题】复数z=-3(cos π/5 - isin π/5)( i是虚数单位)的三角形式是【 】

A. 3[cos⁡(-π/5)+isin(-π/5)]

B. 3(cos π/5+isin π/5)

C. 3(cos 4π/5+isin 4π/5)

D. 3(cos 6π/5+isin 6π/5)

第14题】设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,γ.给出下列三个命题:

①若a//α,b//α,则a//b;

②若a//α,a//β,则α//β;

③若α⊥β,β⊥γ,则α//β.

其中正确的个数是【 】

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

第15题】若集合S={y|y=3x,x∈R},T={y|y=x2-1,x∈R},则S∩T是【 】

A. S

B. T

C. Φ

D. 有限集

第16题】下列命题中正确的命题是【 】

A. 若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点,则sinα=(2)/5

B. 同时满足sinα=1/2,cosα=/2的角α有且只有一个

C. 当|a|<1时, tan⁡(arcsina)的值恒正

D. 三角方程tan⁡(x+π/3)=的解集为{x|x=kπ,k∈Z}

三、解答题(共6小题,满分86分)

第17题】已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标.

第18题】如图所示四面体A-BCD中,AB,BC,BD两两互相垂直,且AB=BC=2,E是AC的中点,异面直线AD与BE所成的角大小为arccos /10,求四面体A-BCD的体积.

第19题】已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).当a=1/2时,求函数f(x)的最小值.

第20题】已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.

第21题】根据指令(r,θ)(r≥0,-180°<θ≤180°),机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度θ(θ为正时,按逆时针方向旋转θ;θ为负时,按顺时针方向旋转-θ),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.

(I)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向.试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4).

(Ⅱ)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有小球正向坐标原点做匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位).

第22题】在xOy平面上有一点列P1 (a1,b1 ),P2 (a2,b2 ),…,Pn (an,bn)对每个自然数n,点Pn位于函数y=2000∙(a/10)x (0<a<10)的图像上,且点Pn、点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.

(I)求点Pn的纵坐标bn的表达式.

(Ⅱ)若对每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围.

(Ⅲ)设Bn=b1 b2…bn (n∈N).若a取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,求数列{Bn}的最大项的项数.

第23题】已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数, i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=z ̅0∙ z ̅ ,|w|=2|z|.

(I)试求m的值,并分别写出x'和y'用x,y表示的关系式.

(Ⅱ)将(x,y)作为点P的坐标, (x',y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.

当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程.

(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.