高考题1982年全国统考( )

已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点(如图).求证MNPQ是一个矩形.

连接AC.在△ABC中,∵AM=MB,CN=NB,

∴MN∥AC.

在△ADC中,

∵ AQ=QD,CP=PD,∴ QP∥AC

∴ MN∥AC.

同理,连接BD可证MQ∥NP.

∴ MNPQ是平行四边形.

取AC中点K,连接BK,DK.

∵ AB=BC,∴ BK⊥AC,

又 ∵ AD=DC,∴ DK⊥AC.

因此平面BKD与AC垂直.

∵ BD在平面BKD内,∴ BD⊥AC.

∵ MQ∥BD,QP∥AC,∴ MQ⊥QP,

即∠MQP为直角.

前面已证MNPQ是平行四边形,今又有一内角为直角,因此MNPQ是矩形.

高考题1982年全国统考( )

已知圆锥体的底面半径为R,高为H.求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h(如图).

设圆柱体半径为r,高为h. 

由△ACD∽△AOB得(H-h)/H=r/R.

由此得r=R/H(H-h),

圆柱体体积V(h)=πr2h=(H-h)2h.

两边对h求导得V'(h)=(H-h)(H-3h),

令V'(h)=0,得h=H(不合题意,舍去)和h=1/3H.

因而函数V(h)在定义域(0,H)内只有一个驻点,同时根据实际问题必有体积最大的圆柱体,

所以h=1/3H时圆柱体体积最大.

高考题1981年全国统考( )

在120°的二面角P-α-Q的两个面P和Q内,分别有点A和B . 已知点A和点B到棱α的距离分别为2和4,且线段AB=10.

(1) 求直线AB和棱α所成的角;

(2) 求直线AB和平面Q所成的角.

(1) 在平面P内作直线AD⊥α于点D;在平面Q内,作直线BE⊥α于点E,在平面Q内作α的垂线与从点B作α的平行线相交于点C.

∴ ∠ABC等于AB和α所成的角.

 

∠ADC为二面角P-α-Q的平面角,

∴∠ADC=120°.又AD=2, BCDE为矩形,

∴CD=BE=4.

连接∴AC,由余弦定理得

∴AC2=AD2+CD2-2AD∙CD∙cos120°

=4+16-2×2×4×(-1/2) 

=28 

∴AC=2.

又因AD⊥α, CD⊥α,所以α垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥α得知BC垂直于△ACD所在的平面,

∴BC⊥AC.

在Rt△ACD中,sin∠ABC=AC/AB=(2)/10=/5,

∴∠ABC=arcsin/5.

(2) 在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.

因为△ACD所在的平面⊥平面Q,

AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,

∴AF=2sin60°=.

连接BF,于是∠ABF是AB和平面Q的所成的角,而△ADF为直角三角形,

∴sin∠ABF=AF/AB=/10,∠ABF=arcsin/10.

高考题1980年全国统考( )

直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A .从P看地平面上一物体 B (不同于 A ) ,直线P B 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N(如图).

证明:平面 N 必与平面 M 相交,且交线 l 垂直于 AB.

用反证法.假如平面 N 与平面 M 平行,则PA 也垂直于 N ,因此PA 与PB 重合, B 点与 A 点重合,但这与题设矛盾,所以平面 N 与平面 M 相交.

已知平面 N 与平面 M 的交线为l .尸 A 土平面 M , 

∵ PA⊥平面M,∴ PA⊥l.

又∵ PB⊥平面 N , ∴ PB⊥l ,

∴l⊥平面PAB , ∴ l⊥AB .

高考题1979年全国统考( )

设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.

求证:ABC是锐角三角形.

在 Rt△AVB 中,过直角顶点 V 作 VD⊥AB , 则 D 点在 A 和 B 之间.

∵ CV⊥平面 VAB , AB⊥VD ,

据三垂线定理可知 AB⊥CD . 

即在 △ABC 中, CD 在 AB 边上的垂足 D 介于 A 和 B 之间,

∴ ∠A 和∠B 都是锐角.

同理可证∠C 也是锐角.

因此 △ABC 是锐角三角形.