高中数学-高考试题(上海市 2024年空间向量)

单项选择（2024年上海市）

定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P₁,P₂,P₃∈Ω，存在不全为0的实数λ₁,λ₂,λ₃，使得λ₁ (OP₁)+λ₂ (OP₂)+λ₃ (OP₃)=0.已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是【】

A、(0,0,0)∈Ω

B、(-1,0,0)∈Ω

C、(0,1,0)∈Ω

D、(0,0,-1)∈Ω

答案解析

C

【解析】

解答过程见word版

讨论

高中数学

下列函数f(x)的最小正周期是2π的是【】

已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是【】

等比数列{an}的首项a1>0，公比q>1，记In={x-y│x,y∈[a1,a2 ]∪[an,an+1 ] }，若对任意正整数n,In是闭区间，则q的取值范围是________.

已知点B在点C正北方向，点D在点C正东方向，BC=CD，存在点A满足∠BAC=16.5°,∠DAC=37°,则∠BCA=______(精确到0.1度).

设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______.

已知虚数z，其实部为1，且z+2/z=m(m∈R)，则实数m为______.

某校举办科学竞技比赛，有A、B、C 3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题，小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是______.

已知抛物线y²=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为______.

在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x²项的系数为________.

已知k∈R,a=(2,5),b=(6,k)，且a∥b ，则k的值为________.

空间向量

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a,=b,=c，则下列向量中与相等的向量是【】

设点Q关于平面r➝=-(t+p) i➝+tj➝+(1+p)k➝的对称点为S，其中t,p为实数，i➝,j➝,k➝分别为空间坐标系坐标轴正方向的三个单位向量，若点Q与S的位置矢量分别为10i➝+15j➝+20k➝与αi➝+βj➝+γk➝，则以下说法正确的是【】

设点P在有向线段的延长线上，P分所成的比为λ，则【】

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2，M,N分别是A1B1,A1A的中点. (I)求的长； (II)求cos⟨,⟩的值；(Ⅲ)求证A1B⊥C1M.

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足=λ+μ，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，则【】

如图，直三棱柱ABC-A1 B1 C1的体积为4，△A1 BC的面积为2√2．（1）求A到平面A1 BC的距离；（2）设D为A1 C的中点，AA1=AB，平面A1 BC⊥平面ABB1 A1，求二面角A-BD-C的正弦值．

设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，则A ̅=________.

已知f(x)=，则f(3)=______.

已知x∈R，则不等式x²-2x-3<0的解集为________.

已知f(x)=x³+a,x∈R，且f(x)是奇函数，则a=______.

空间解析几何

如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5√3,∠ADC=90°,∠BAD=30°，点E,F满足(AE)→=2/5 (AD)→,(AF)→=1/2 (AB)→.将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=4√3.(1)证明：EF⊥PD;(2)求面PCD与面PBF所成二面角的正弦值.

如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等边梯形，EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10,FB=2√3, M为AD的中点.(1)证明：BM∥平面CDE;(2)求二面角F-BM-E的正弦值.

如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等边梯形，EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10,FB=2√3, M为AD的中点.(1)证明：BM∥平面CDE;(2)求点M到ABF的距离.

已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上一点，PE⊥AD.(1)若F是PE的中点，证明：BF∥平面PCD.(2)若AB⊥PED，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.

如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4 个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 米铁丝。骨架将到柱底面8 等分，再用S 平方米塑輯片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面).（Ⅰ）当圆柱底面半径r 为何值时， S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01 平方米）；（Ⅱ）在灯笼内，以矩形骨架的頂点为端点，安装一些霓虹灯，当灯笼底面半径为0.3 米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3,A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示).

如图，平面α,β相交于直线MN，点A在平面α上，点B在平面β上，点C在直线MN上，∠ACM=∠BCN=45°，A-MN-B是60°的二面角，AC=1. 求：(1) 点A到平面β的距离；(2) 二面角A-BC-M的大小（用反三角函数表示）.

如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2.求点B到平面EFG的距离.

如图，在正三角棱柱ABC-A1 B1 C1中，E∈BB1，截面A1 EC⊥侧面AC1 （Ⅰ）求证: BE=EB1;（Ⅱ）若AA1=A1 B1，求平面A1 EC与平面A1 B1 C1所成二面角（锐角）的度数. 注意：在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).（Ⅰ）证明:（如图）在截面A1 EC内，过E作EG⊥A1 C,G是垂足. ①∵_________________________________________∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC.②∵_________________________________________.∴BF⊥侧面AC1；得BF//EG,BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG.③∵_________________________________________∴BF//EG四边形BEGF是平行四边形BF=EG.④∵_________________________________________∴FG//AA1,ΔAA1 C∽ΔFGC.⑤∵_________________________________________∴FG=1/2 AA1=1/2 BB1,即BE=1/2 BB1故BE=EB1.（Ⅱ）解：

如图，已知正四棱锥ABCD-A1 B1 C1 D1，点E在棱D1 D上，截面EAC//D1 B，且EAC与底面ABCD所成角为45°,AB=a. (Ⅰ)求截面EAC的面积；(Ⅱ)求异面直线A1 B1与AC之间的距离；(Ⅲ)求三棱锥B1-EAC的体积.

如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为【】