高中数学-高考试题(上海市 2024年平面向量)

填空题（2024年上海市）

已知k∈R,a=(2,5),b=(6,k)，且a∥b ，则k的值为________.

答案解析

15

【解析】

∵a∥b，

∴2k=5×6，

解得：k=15.

讨论

高中数学

已知f(x)=x³+a,x∈R，且f(x)是奇函数，则a=______.

已知x∈R，则不等式x²-2x-3<0的解集为________.

已知f(x)=，则f(3)=______.

设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，则A ̅=________.

设集合M={(i,j,s,t)|i∈{1,2},j∈{3,4},s∈{5,6},t∈{7,8},2|(i+j+s+t)}.对于给定的有穷序列A:{a_n}(1≤n≤8)，及序列Ω:ω1,ω2,⋯,ωs,ω_k=(i_k,j_k,s_k,t_k )∈M，定义变换T:将数列A的第i1,j1,s1,t1项加1，得到数列T1 (A)；将数列T1 (A)的第i2,j2,s2,t2项加1，得到数列T2 T1 (A),⋯；重复上述操作，得到数列Ts⋯T2 T1 (A)，记为Ω(A).(1)给定数列A:1,3,2,4,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)，写出Q(A)；(2)是否存在序列Ω，使得Ω(A)为a1+2,a2+6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,a7+4,a8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω，若不存在，说明理由；(3)若数列A的各项均为正整数，且a1+a3+a5+a7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω(A)为常数列”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”.

已知f(x)=x+kln(1+x)在(t,f(t))(t>0)处的切线为l.(1)若l的斜率为k=-1，求f(x)的单调区间；(2)证明：切线l不经过(0,0)；(3)已知k=1,A(t,f(t)),C(0,f(t)),O(0,0)，其中t>0，切线l与y轴交于点B，当2S△ACO=15S△ABO时，求符合条件的A的个数.(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

已知椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)，焦点和短轴端点构成长为2的正方形，过(0,t)(t>√2)的直线l交椭圆于点A,B,已知点C(0,1)，连接AC交椭圆于D.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t.

已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元在总体中抽样 100单，以频率估计概率:赔偿次数 0 1 2 3 4单数 800 100 60 30 10(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差。设毛利润为X，估计X的数学期望;(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%. 估计保单下一保险期毛利润的数学期望.

已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上一点，PE⊥AD.(1)若F是PE的中点，证明：BF∥平面PCD.(2)若AB⊥PED，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.

在△ABC中，a=7,A为钝角，sin2B=√3/7 bcosB.(1)求∠A；(2)从条件①、②、③中选择一个作为已知，求△ABC的面积：①b=7；②cosB=13/14；③csinA=5/2 √3.

平面向量

已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|=【】

设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则(PA1)2+(PA2)2+⋯+(PA8)2的取值范围是_______．

已知λ>0，向量|a|=|b|=|c|=λ，且a∙b=0,c∙b=1,c∙a=2，则λ=________.

在∆ABC中，(CA)→=a,(CB)→=b,D是AC的中点,(CB)→=2(BE)→,试用a,b表示(DE)→=________；若(AB)→⊥DE→，求∠C的最大值为______.

如图已知点A(-12),B(3,4)若点P(m,0)使得 |PB|- |PA| 最大，则m的值为【】

设i ̂,j ̂,k ̂分别为与三个坐标轴平行的单位向量，有向量a→=3i ̂+j ̂-k ̂,b→=i ̂+b2 j ̂+b3 k ̂,c→=c1 i ̂+c2 j ̂+c3 k ̂，其中，b2,b3,c1,c2,c3均为实数，且b2 b3>0,a→∙b→=0,=，则下列叙述正确的有【】

已知向量a ̅=(1,1),b ̅=(1,-1).若(a ̅+λb ̅)⊥(a ̅+μb ̅)，则【】

已知向量a→,b→满足|a→-b→ |=√3,|a→+b→ |=|2a→-b→|，则|b→ |=________.

在 △ABC 中, AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 90º, D 在边 BC 上, 延长 AD 到 P , 使得 AP = 9. 若=m+(3/2-m) (m 为常数), 则 CD 的长度是__________.

设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a∙b)c-(c∙a)b=0②|a|-|b|<|a-b|③(b∙c)a-(c∙a)b不与c垂直④(3a+2b)∙(3a-2b)=9|a|2 - 4|b|2 中，是真命题的有【】

平面解析几何

已知曲线C:x²+y²=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为【】

抛物线C:y²=4x的准线为l,P为C上的动点，过P作⨀A:x²+(y-4)²=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则【】

记△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知sinA+√3 cosA=2.(1)求A.(2)若a=2,√2 bsinC=csin2B，求△ABC的周长.

在平面直角坐标系xOy中，椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>1)的右焦点为F(c,0)，若存在经过焦点F的一条直线l交椭圆于A,B两点，使得OA⊥OB.求椭圆的离心率e=c/a的取值范围.

已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4)，点(-6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为【】

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=60°,b²=9/4 ac，则sinA+sinC=【】

已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x²+y²+4y-1=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为【】

设椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的右焦点为F，点M(1,3/2)在C上，且MF⊥x轴.(1)求C的方程；(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.

已知直线ax+y+2-a与圆C:x²+y²+4y-1=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为【】

求圆x²+y²-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离【】