高中数学-高考试题(北京市 2024年数列与推理)

问答题（2024年北京市）

设集合M={(i,j,s,t)|i∈{1,2},j∈{3,4},s∈{5,6},t∈{7,8},2|(i+j+s+t)}.对于给定的有穷序列A:{a_n}(1≤n≤8)，及序列Ω:ω₁,ω₂,⋯,ω_s,ω_k=(i_k,j_k,s_k,t_k )∈M，定义变换T:将数列A的第i₁,j₁,s₁,t₁项加1，得到数列T₁ (A)；将数列T₁ (A)的第i₂,j₂,s₂,t₂项加1，得到数列T₂ T₁ (A),⋯；重复上述操作，得到数列T_s⋯T₂ T₁ (A)，记为Ω(A).

(1)给定数列A:1,3,2,4,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)，写出Q(A)；

(2)是否存在序列Ω，使得Ω(A)为a₁+2,a₂+6,a₃+4,a₄+2,a₅+8,a₆+2,a₇+4,a₈+4，若存在，写出一个符合条件的Ω，若不存在，说明理由；

(3)若数列A的各项均为正整数，且a₁+a₃+a₅+a₇为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω(A)为常数列”的充要条件为“a₁+a₂=a₃+a₄=a₅+a₆=a₇+a₈”.

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

已知f(x)=x+kln(1+x)在(t,f(t))(t>0)处的切线为l.(1)若l的斜率为k=-1，求f(x)的单调区间；(2)证明：切线l不经过(0,0)；(3)已知k=1,A(t,f(t)),C(0,f(t)),O(0,0)，其中t>0，切线l与y轴交于点B，当2S△ACO=15S△ABO时，求符合条件的A的个数.(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

已知椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)，焦点和短轴端点构成长为2的正方形，过(0,t)(t>√2)的直线l交椭圆于点A,B,已知点C(0,1)，连接AC交椭圆于D.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t.

已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元在总体中抽样 100单，以频率估计概率:赔偿次数 0 1 2 3 4单数 800 100 60 30 10(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差。设毛利润为X，估计X的数学期望;(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%. 估计保单下一保险期毛利润的数学期望.

已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上一点，PE⊥AD.(1)若F是PE的中点，证明：BF∥平面PCD.(2)若AB⊥PED，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.

在△ABC中，a=7,A为钝角，sin2B=√3/7 bcosB.(1)求∠A；(2)从条件①、②、③中选择一个作为已知，求△ABC的面积：①b=7；②cosB=13/14；③csinA=5/2 √3.

设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数数列，记集合M={k|ak=bk,k∈N*}，给出下列4个结论：①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有3个元素；③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是________.

汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为 10 的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为______mm，升量器的高为______mm.

已知双曲线x²/4-y²=1，则过点(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为______.

设α∈[π/6,π/3]，且α与β的终边关于原点对称，则cosβ的最大值为______.

已知抛物线为y2=16x，则焦点坐标为________.

数列

记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5，则S10=________.

用f(n)表示整数n的二进制中数码“1”占所有数码的比例，例如21=(10101)2，则f(21)=3/5.(1)是否存在由21个不超过2024的正整数构成的非常值等差数列a1,a2,⋯,a21，使得f(a1)=f(a2)=⋯=f(a21)？证明你的结论.(2)是否存在无穷多个正整数m，使得f(m²)>7/10？证明你的结论.

已知双曲线C:x²-y²=m(m>0).点P1 (5,4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn (n=2,3,⋯)，过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交点Qn-1，令Pn为Qn-1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn,yn).(1)若k=1/2，求x2,y2.(2)证明：数列{xn-yn}为公比为(1+k)/(1-k)的等比数列.(3)设Sn为△Pn Pn+1 Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n,Sn=Sn+1.

记Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S5=S10,a5=1，则a1=【】

记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=(-1)n nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=【】

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{Sn}的通项公式.

已知数列{an}满足an+1=1/4 (an-6)³+6(n=1,2,3,⋯)，则【】

已知数列{an },{bn}的项数均为m(m>2)，且an,bn∈{1,2,⋯,m},{an },{bn}的前n项和分别为An,Bn，并规定A0=B0=0.对于k∈{0,1,2,⋯,m}，定义rk=max⁡{i|Bi≤Ai,i∈{0,1,2,⋯,m}}，其中maxM表示数集M中最大的数.(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；(2)若a1≥b1,2rj≤rj+1+rj-1,j=1,2,⋯,m-1，求rn；(3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2,⋯,m}，满足p>q,s>t，使得Ap+Bt=Aq+Bs.

给定整数k≥2.求所有无穷正整数数列a1,a2,⋯,使得存在多项式P(x)=xk+ck-1 xk-1+⋯+c1 x+c0其中c0,c1,⋯,ck-1是非负整数，满足P(an )=an+1 an+2⋯an+k对任意正整数n成立.

数列与推理

设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(I)写出数列{an}的前3项;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);(Ⅲ)令bn=1/2(an+1/an +an/an+1 )(n∈N),求(b1+b2+⋯+bn-n).

设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1) - n+an+1an=0(n=1,2,3⋅⋅⋅),则它的通项公式是an=______.

在xOy平面上有一点列P1 (a1,b1 ),P2 (a2,b2 ),…,Pn (an,bn)对每个自然数n,点Pn位于函数y=2000∙(a/10)x (0<a<10)的图像上,且点Pn、点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(I)求点Pn的纵坐标bn的表达式.(Ⅱ)若对每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围.(Ⅲ)设Bn=b1 b2…bn (n∈N).若a取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,求数列{Bn}的最大项的项数.

设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N)，则|a1|+|a2|+⋯+|a15|=______.

某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm, 10dm×6dm,24dm×3dm,三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次,那么 Sk=________dm2.

已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n，写出b1,b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和.

数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3,a1+a2+⋯+an=100，则n的最大值为【】

定义Rp数列{an}：对p∈R满足：①a1+p≥0,a2+p=0；②∀n∈N*,a4n-1<a4n；③∀m,n∈N*,am+n∈{am+an+p,am+an+p+1}.(1)对前4项2,-2,0,1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；(2)若{an}是R0数列，求a5的值；(3)是否存在p∈R,使得存在Rp数列{an}，对∀n∈N*满足Sn≥S10?若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.

已知ai∈N* (i=1,2,…,9)对任意的k∈N* (2≤k≤8),ak=ak-1+1或ak=ak+1-1中有且仅有一个成立，a1=6,a9=9，则a1+⋯+a9的最小值为__________.

已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，{bn}是公比大于0的等比数列，b1=4,b3-b2=48.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn=b2n+1/bn ,n∈N*(i)证明{cn2-c2n}是等比数列；(ii)证明<2√2.