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单项选择（2024年全国甲·文）

等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=【 】

A、-2

B、7/3

C、1

D、2/9

答案解析

D

【解析】

根据等差数列的性质，a3+a7=a1+a9，

又S9=9(a1+a9)/2=9(a3+a7)/2=1，

∴a3+a7=2/9.

讨论

高中数学

设z=√2 i，则z∙z ̅=【 】

集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A}，则A∩B=【 】

实数a,b满足a+b≥3.(1)证明：2a²+2b²>a+b;(2)证明：|a-2b² |+|b-2a² |≥6.

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+1.(1)写出C的直角坐标方程；(2)设直线l:(t为参数)，若C与l相交于A,B两点，且|AB|=2，求a.

已知函数f(x)=(1-ax) ln⁡(1+x)-x.(1)若a=-2，求f(x)的极值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.

设椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的右焦点为F，点M(1,3/2)在C上，且MF⊥x轴.(1)求C的方程；(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.

如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等边梯形，EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10,FB=2√3, M为AD的中点.(1)证明：BM∥平面CDE;(2)求二面角F-BM-E的正弦值.

记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=(-1)n nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下: 优级品 合格品 不合格品 总计甲车间 26 24 0 50乙车间 70 28 2 100总计 96 52 2 150(1)填写如下列联表: 优级品 品优级品甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设p ̅为升级改造后抽取的n件产品的优级率.如果p ̅>p+1.65√((p(1-p))/n),则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品率.能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?( √150≈12.247)附：K²=n(ad-bc)²/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))P(K²≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828

有6个相同的球,分别标有 1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于1/2的概率为______.

等差数列

记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5，则S10=________.

用f(n)表示整数n的二进制中数码“1”占所有数码的比例，例如21=(10101)2，则f(21)=3/5.(1)是否存在由21个不超过2024的正整数构成的非常值等差数列a1,a2,⋯,a21，使得f(a1)=f(a2)=⋯=f(a21)？证明你的结论.(2)是否存在无穷多个正整数m，使得f(m²)>7/10？证明你的结论.

记Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S5=S10,a5=1，则a1=【 】

若Sn是数列{an }的前n项和.且Sn=n2，则{an }是【 】

已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2=3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知2/Sn +1/bn =2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式.

已知{an}和{bn}是两个等差数列，且ak/bk (1≤k≤5)是常值，若a1=288,a5=96,b1=192，则b3的值为【 】

在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？

记Sn为数列{an }的前n项和，已知a1=1,{Sn/an }是公差为1/3的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：1/a1 +1/a2 +⋯+1/an <2．

记Sn为数列{an }的前n项和．已知2Sn/n+n=2an+1．（1）证明：{an }是等差数列；（2）若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．

数列

已知双曲线C:x²-y²=m(m>0).点P1 (5,4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn (n=2,3,⋯)，过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交点Qn-1，令Pn为Qn-1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn,yn).(1)若k=1/2，求x2,y2.(2)证明：数列{xn-yn}为公比为(1+k)/(1-k)的等比数列.(3)设Sn为△Pn Pn+1 Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n,Sn=Sn+1.

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{Sn}的通项公式.

Find the sum of the geometical series -2,,-1/3 to 6 terms.

求证 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

求级数1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+⋯ n项及无穷项之和.其第n项为1/(2n-1)(2n+1).

有相交之二直线 a 及 b，自 a 上之一点作 b 之垂线，复自其在 b 上之垂足向 a作垂线，更自第二个垂足作 b 之垂线，如此继续作成无数根垂线，设第一垂线之长为 7，第二垂线之长为 6，求此无数垂线长之和.

设a,b,c三数成调和级数，试证1/a+1/c+1/(a-b)+1/(c-b)=0.

问级数1-x/√1+x²/√2-x³/√3+⋯何时收敛？

试述无穷级数为收敛或发散之定义 (definition of convergence or divergence)并讨论普遍项 (general term) 如下之二无穷级数，何时为收?何时为发散?(1) Un=xn+1 [log⁡(n+1) ]q(log 表以e 为底之对数)(2) Un=xn (cosn⁡θ+cosn-1⁡θ sinθ+cosn-2⁡θ sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ )(0<θ<π/4)

设a1,a2,a3,⋯,an成调和级数，试证：a1 a2+a2 a3+a3 a4+⋯+an-1 an=(n-1) a1 an