问答题(2024年全国甲·理2024年全国甲·文

某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:

优级品 合格品 不合格品 总计

甲车间 26 24 0 50

乙车间 70 28 2 100

总计 96 52 2 150

(1)填写如下列联表:

优级品 品优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设p ̅为升级改造后抽取的n件产品的优级率.如果p ̅>p+1.65√((p(1-p))/n),则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品率.能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?( √150≈12.247)

附:K²=n(ad-bc)²/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))

P(K²≥k) 0.050      0.010      0.001

k 3.841       6.635     10.828

答案解析

解答过程见word版

讨论

盒中有 4 个球, 其中 1 个红球, 1 个绿球, 2 个黄球, 从盒中随机取球, 每次取 1 个, 不放回, 直到取出红球为止, 设此过程中取到黄球的个数为 ξ, 则 P (ξ = 0) = ______, E(ξ) = ______.

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好 良好病例组 40 60对照组 10 90(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.(P(B|A))/(P(B ̄|A))与(P(B|A ̄))/(P(B ̄|A ̄))的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(ⅰ)证明:R=P(A|B)/P(A ̄|B)⋅P(A ̄|B ̄)/P(A|B ̄);(ⅱ)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B ̄)的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值.附:K2=n(ad-bc)2/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d)),P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828

某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:并计算得xi2 =0.038,yi2 =1.6158,xiyi=0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r= ,≈1.377.

某公司生产的洗发水,每瓶容量服从N(m,σ²)的正态分布。随机抽取16瓶,用样本均值推断m的95%置信区间为746.1≤m≤755.9.若随机抽取n瓶,用样本均值推断m的99%置信区间为a≤m≤6.已知P{|Z|≤1.96}=0.95,P{|Z|≤2.58)=0.99,要使b-a不大于6,n最小为【 】

已知 1, 2, a, b 的中位数是 3, 平均数是 4, 则 ab =______.

设z=5+i,则i(z ̅+z)=【 】

集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|√x∈A},则CA (A∩B)=【 】

若x,y满足约束条件,则z=x-5y的最小值为【 】

记Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S5=S10,a5=1,则a1=【 】

已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为【 】

某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种一种新型水稻,得到各块的亩产量(单位:kg)并部分整理为下表:亩产量 (900,950) (950,1000) (1000,1050) (1100,1150) (1150,1200)频数 6 12 18 24 10据表中数据,结论正确的是【 】

某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次, 整理数据得到下表 (单位: 天):(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为 1, 2, 3, 4 的概率;(2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 (同一组中的数据用改组区间的中点值为代表);(3) 若某天的空气质量等级为 1 或 2, 则称这天“空气质量好” ; 若某天的空气质量等级为 3 或 4, 则称这天“空气质量不好” . 根据所给数据, 完成下列的 2 × 2 列联表, 并根据列联表, 判断是否有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

为满足人民对美好生活的向往, 环保部门要求相关企业加强污水治理, 排放未达标的企业要限期整改. 设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为 W = f(t). 用 -(f(b)-f(a))/(b-a)的大小评价在 [a, b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱. 已知整改期内, 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.① 在 [t1, t2] 这段时间内, 甲企业的污水治理能力比乙企业强;② 在 t2 时刻, 甲企业的污水治理能力比乙企业强;③ 在 t3 时刻, 甲、乙两企业的污水排放都已达标;④ 甲企业在 [0, t1], [t1, t2], [t2, t3] 这三段时间中, 在 [0, t1] 的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是__________.

据报道,我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况.由图中的相关信息,可将上述有关年代中,我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为:

为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是【 】

甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:K2=,

从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其平分数据,将所得400个评分数据分为8组:[60,70],[70,74],…,[94,98],并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间[82.86)内的影视作品数量为【 】

在某地区进行流行病调查,随机调查了100名某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%,从该地区任选一人,若此人年龄位于区间[40,50),求此人患该种疾病的概率.(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率,精确到0.0001).

某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则【 】

分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图: 则下列结论中错误的是【】