问答题(2022年新高考Ⅰ

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:

不够良好 良好

病例组 40 60

对照组 10 90

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.(P(B|A))/(P(B ̄|A))与(P(B|A ̄))/(P(B ̄|A ̄))的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.

(ⅰ)证明:R=P(A|B)/P(A ̄|B)⋅P(A ̄|B ̄)/P(A|B ̄);

(ⅱ)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B ̄)的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值.

附:K2=n(ad-bc)2/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d)),

P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

答案解析

(1)由已知K2=(n(ad-bc)2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))=200(40×90-60×10)2/(50×150×100×100)=24,又P(K2≥6.635)=0.01,24>6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为R=P(B|A)/P(B ̄|A)⋅P(B ̄|A ̄)/P(B|A ̄)=P(AB)/P(A)⋅P(A)/P(AB ̄)⋅P(A ̄B ̄)/P(A ̄)...

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讨论

已知 1, 2, a, b 的中位数是 3, 平均数是 4, 则 ab =______.

盒中有 4 个球, 其中 1 个红球, 1 个绿球, 2 个黄球, 从盒中随机取球, 每次取 1 个, 不放回, 直到取出红球为止, 设此过程中取到黄球的个数为 ξ, 则 P (ξ = 0) = ______, E(ξ) = ______.

某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:并计算得xi2 =0.038,yi2 =1.6158,xiyi=0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r= ,≈1.377.

某公司生产的洗发水,每瓶容量服从N(m,σ²)的正态分布。随机抽取16瓶,用样本均值推断m的95%置信区间为746.1≤m≤755.9.若随机抽取n瓶,用样本均值推断m的99%置信区间为a≤m≤6.已知P{|Z|≤1.96}=0.95,P{|Z|≤2.58)=0.99,要使b-a不大于6,n最小为【 】

设m为正整数,数列a1,a2,⋯,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj (i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,⋯,a4m+2是(i,j)—可分数列.(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使数列a1,a2,⋯,a6是(i,j)—可分数列;(2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,⋯,a4m+2是(2,13)—可分数列;(3)从1,2,⋯,4m+2中一次任取出两个数i和j(i<j),记数列a1,a2,⋯,a4m+2是(i,j)—可分数列的概率为Pm,证明:Pm>1/8.

已知 F 为双曲线 C : =1 (a > 0, b > 0) 的右焦点, A 为 C 的右顶点, B 为 C 上的点, 且 BF垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3, 则 C 的离心率为 __________.

执行如图的程序框图,则输出的 n =【 】

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数). 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcosθ−16ρsinθ + 3 = 0.(1) 当 k = 1 时, C1 是什么曲线?(2) 当 k = 4 时, 求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标.

若 x, y 满足约束条件 则 z = x + 7y 的最大值为 __________.

已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.

据报道,我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况.由图中的相关信息,可将上述有关年代中,我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为:

从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其平分数据,将所得400个评分数据分为8组:[60,70],[70,74],…,[94,98],并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间[82.86)内的影视作品数量为【 】

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x (单位: °C) 的关系, 在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验, 由实验数据 (xi, yi) (i = 1, 2, · · · , 20) 得到下面的散点图:由此散点图, 在 10°C 至 40°C 之间, 下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是【 】。

某厂接受了一项加工业务, 加工出来的产品 (单位: 件) 按标准分为 A, B, C, D 四个等级. 加工业务约定: 对于A 级品、 B 级品、 C 级品, 厂家每件分别收取加工费 90 元, 50 元, 20 元; 对于 D 级品, 厂家每件要赔偿原料损失费 50 元. 该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为 25 元/件, 乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务, 在两个分厂各试加工了 100 件这种产品, 并统计了这些产品的等级, 整理如下:(1) 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率;(2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润, 以平均利润为依据, 厂家应选哪个分厂承接加工业务?

某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次, 整理数据得到下表 (单位: 天):(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为 1, 2, 3, 4 的概率;(2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 (同一组中的数据用改组区间的中点值为代表);(3) 若某天的空气质量等级为 1 或 2, 则称这天“空气质量好” ; 若某天的空气质量等级为 3 或 4, 则称这天“空气质量不好” . 根据所给数据, 完成下列的 2 × 2 列联表, 并根据列联表, 判断是否有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

为加强环境保护, 治理空气污染, 环境监测部门对某市空气质量进行调研, 随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5和SO2 浓度 (单位: ug/m3), 得下表:(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75, 且SO2 浓度不超过 150”的概率;(2) 根据所给数据, 完成下面的 2 × 2 列联表:(3) 根据 (2) 中的列联表, 判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与SO2 浓度有关?附:

从一批零件中抽取 80 个, 测量其直径 (单位: mm), 将所得数据分为 9 组: [5.31, 5.33], [5.33, 5.35], · · · ,[5.45, 5.47], [5.47, 5.49], 并整理得到如下频率分布直方图, 则在被抽取的零件中, 直径落在区间 [5.43, 5.47] 内的个数为【 】

某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所增加, 为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的 200 个地块, 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区, 调查得到样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,20), 其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积 (单位: 公顷) 和这种野生动物的数量,并计算得=60, =1200, =80, =9000, = 800.(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值 (这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数) ;(2) 求样本 (xi, yi) (i = 1, 2, … , 20) 的相关系数 (精确到 0.01) ;(3) 根据现有统计资料, 各地块间植物覆盖面积差异很大, 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计, 请给出一种你认为更合理的抽样方法, 并说明理由.附: 相关系数 r = , ≈ 1.414.

为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是【 】

甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:K2=,

设O为正方形 ABCD 的中心, 在 O,A,B,C,D 中任取 3 点, 则取到的 3 点共线的概率为【 】

在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于7/4的概率为【 】

在区间(0,1/2]随机取1个数,则取到的数小于1/3的概率为【 】

袋内有8个白球和2个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回一个白球,则第4次恰好取完所有红球的概率为________.

甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量X_i服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,⋯,n,则E(Xi )=qi ,记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).

为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.时段 价格变化第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的,在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概;(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响,判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大(结论不要求证明).

在矩形ABCD中,AD=2AB,E,F分别为AD,BC的中点,从A、B、C、D、E、F中任选三个点,则这三个点为顶点可组成的直角三角形的概率【 】

集合X={x|x是不大于10的正整数},求满足下列条件的函数f:X→X共有多少个。(1)对于任意不大于9的正整数x,有f(x)≤f(x+1)(2)当1≤x≤5时,f(x)≤x;当6≤x≤10时,f(x)≥x(3)f(6)=f(5)+6.

盒子中装有5个白色口罩和9个黑色口罩.一次性从盒中随机抽取3个口罩,至少有一个白色口罩的概率是【 】

在一项传染病研究中,收集了900位患者的样本,发现其中:190人有发热症状,220人有咳嗽症状,220人有呼吸困难症状,330人发热或咳嗽,350人咳嗽或呼吸困难,340人发热或呼吸困难,30人同时出现发热、咳嗽、呼吸困难的症状。从这900人中随机抽取一人,则至少出现一种症状的概率是__________.