证明题(2021年全国甲·理2021年全国甲·文

已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

答案解析

情况一:选择①③为条件,即数列{an}为等差数列,且a2=3a1.证明:设等差数列{an}的公差为d,由题意可知,a1>0,d>0,且a2=3a1=a1+d.所以,d=2a1, 所以,an=a1+(n-1)d=(2n-1)a1.所以,Sn=(n(a1+an))/2=(n∙2na1)/2=n2 a1,所以,=n,=(n+1),-=,为常数,所以数列为等差数列.情况二:选择①②为条件.证明:设等差数列{an}的公差为d,则d>0,因为{}为等差数列,所以2=+,即2=+ 等式两边平方得:4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2即:4a1+d=2等式两边平方:4a12-4a1 d+d2=0也就是:(2a1-d)2=...

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讨论

甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:K2=,

已知函数f(x)=2cos⁡(ωx+φ)的部分图像如图所示,则满足条件(f(x)-f(-7π/4))(f(x)-f(4π/3))>0的最小正整数x为______.

已知F1,F2为椭圆C:x2/16+y2/4=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2 |,则四边形PF1QF2的面积为________.

已知向量=(3,1),=(1,0),=+k,若⊥,则k=________.

曲线y=(2x-1)/(x+2)在点(-1,-3)处的切线方程为__________.

设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,若f(0)+f(3)=6,则f(9/2)=【 】

已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为【 】

将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为【 】

若α∈(0,π/2),tan2α=cosα/(2-sinα),则tanα=【 】

2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一,下图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同水平面上的投影A',B',C'满足∠A' C' B'=45°,∠A' B'C'=60°,由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)【 】

在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足Sn=1/a1 ,那么a1的取值范围是【 】

设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1) - n+an+1an=0(n=1,2,3⋅⋅⋅),则它的通项公式是an=______.

计算:(n/n+2)n=________.

在xOy平面上有一点列P1 (a1,b1 ),P2 (a2,b2 ),…,Pn (an,bn)对每个自然数n,点Pn位于函数y=2000∙(a/10)x (0<a<10)的图像上,且点Pn、点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(I)求点Pn的纵坐标bn的表达式.(Ⅱ)若对每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围.(Ⅲ)设Bn=b1 b2…bn (n∈N).若a取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,求数列{Bn}的最大项的项数.

设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N),则|a1|+|a2|+⋯+|a15|=______.

已知等差数列前三项为a,4,3a前n项的和为Sn,Sk=2550.(Ⅰ)求a及k的值,(Ⅱ)求 (1/S1 +1/S2 +⋯+1/Sn ).

某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm, 10dm×6dm,24dm×3dm,三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折n次,那么 Sk=________dm2.

已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.

极限(C22+C32+C42+⋯+Cn2)/(n(C21+C31+C41+⋯+Cn1))=【 】

问级数1-x/√1+x²/√2-x³/√3+⋯何时收敛?