高中数学-高考试题(全国统考 2001年等差数列)

单项选择（2001年全国统考）

设{a_n}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是【】

A、1

B、2

C、4

D、6

答案解析

B

讨论

高中数学

过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是【】

若sinθcosθ>0，则θ在【】

已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数, i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=z ̅0∙ z ̅ ,|w|=2|z|.(I)试求m的值,并分别写出x'和y'用x,y表示的关系式.(Ⅱ)将(x,y)作为点P的坐标, (x',y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程.(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.

在xOy平面上有一点列P1 (a1,b1 ),P2 (a2,b2 ),…,Pn (an,bn)对每个自然数n,点Pn位于函数y=2000∙(a/10)x (0<a<10)的图像上,且点Pn、点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(I)求点Pn的纵坐标bn的表达式.(Ⅱ)若对每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围.(Ⅲ)设Bn=b1 b2…bn (n∈N).若a取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数,求数列{Bn}的最大项的项数.

根据指令(r,θ)(r≥0,-180°<θ≤180°),机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度θ(θ为正时,按逆时针方向旋转θ;θ为负时,按顺时针方向旋转-θ),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(I)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向.试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4).(Ⅱ)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有小球正向坐标原点做匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位).

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).当a=1/2时，求函数f(x)的最小值.

如图所示四面体A-BCD中，AB,BC,BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos /10，求四面体A-BCD的体积.

已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点，求线段AB的中点坐标.

下列命题中正确的命题是【】

等差数列

一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么【】

记Sn为数列{an }的前n项和，已知a1=1,{Sn/an }是公差为1/3的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：1/a1 +1/a2 +⋯+1/an <2．

已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5=0，则Si (i=0,1,2,…,100)中不同的数值有________个。

已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=【】

设l1,l2,⋯,l100是公差为d1的等差数列的前100项，w1,w2,⋯,w100是公差为d2的等差数列的前100项，且d1 d2=10.设Ai表示边长分别为li和wi的矩形的面积，若A51-A50=1000，则A100-A90的值为__________.

若方程x4-4x3-34x2+ax+b=0之根成等差级数，求a,b及四根.

设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.(Ⅰ)求公差d的取值范围.(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.

已知等差数列{an}的公差d>0，首项an>0,Sn=1/(aiai+1)，则Sn =________。

等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为【】

已知数列{bn }是等列数差，b1=1,b1+b2+⋯+b10=145.(Ⅰ)求数列{bn }的通项bn；(Ⅱ)设数列{an }的通项an=loga⁡(1+1/bn )（其中a>0，且a≠1，记Sn是数列{an }的前n项和.试比较Sn与1/3 logabn+1的大小，并证明你的结论.

数列

已知x1>0,x≠1,且xn+1=,(n=1,2,⋯).试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1，或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.

设数列a1,a2,…,an,…的前n 项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-1/(1+b)n ，其中b是与n无关的常数，且b≠1.(1) 求an与an-1的关系；(2) 写出用n和b表示an的表达式；(3) 当0<b<1时，求极限Sn .

是否存在常数a,b,c使得等式1∙22+2∙32+⋯+n∙(n+1)2=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

给定正整数m>1，求正整数n的最小值，使得对任意正整数a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn，存在整数x1,x2,…,xn，满足以下两个条件：(1) ∃i∈{1,2,…,n}使得xi与m互质；(2) aixi = bixi ≡ 0(mod m).

设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(I)写出数列{an}的前3项;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);(Ⅲ)令bn=1/2(an+1/an +an/an+1 )(n∈N),求(b1+b2+⋯+bn-n).

设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1) - n+an+1an=0(n=1,2,3⋅⋅⋅),则它的通项公式是an=______.

有相交之二直线 a 及 b，自 a 上之一点作 b 之垂线，复自其在 b 上之垂足向 a作垂线，更自第二个垂足作 b 之垂线，如此继续作成无数根垂线，设第一垂线之长为 7，第二垂线之长为 6，求此无数垂线长之和.

设a,b,c三数成调和级数，试证1/a+1/c+1/(a-b)+1/(c-b)=0.

问级数1-x/√1+x²/√2-x³/√3+⋯何时收敛？