高中数学-高考试题(全国统考 1979年数列与推理)

问答题（1979年全国统考）

试问数列：lg100,lg⁡(100sinπ/4),lg⁡(100sin²π/4),⋯,lg⁡(100sin^n-1π/4)，前多少项的和的值最大？并求出这大值（这里取lg2=0.301）

答案解析

这个数列的第k项（任意项）为ak=lg⁡(100sink-1π/4)=lg100+(k-1)lg(1/) =2-1/2lg2 由于这个数列是递减等差数列，且其首项为2，要前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第(k+1)项起，以后各项都是负数，因此...

查看完整答案

讨论

高中数学

设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A ，与 CF 的延长线相交于点 B . 求证：BF/AE=BC3/AC3 .

美国的物价从 1939 年的 100 增到四十年后 1979年的 500 ，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：自然对数 Inx 是以 e = 2.718 … 为底的对数．本题中增长率 x < 0.1，可用自然对数的近似公式：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3 , In10=2.3 来计算．)

设三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证：ABC是锐角三角形.

外国船只，除特许者外，不得进人离我海岸线 d海里的区域．设 A 及 B 是我们的观测站 , A 及 B 间的距离为s海里，海岸线是过 A 、B 的直线. 一外国船只在P点．在 A 站测得∠BAP=α ，同时在 B 站测得∠ABP=β，问及满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令退出我海域？

叙述并证明勾股定理.

甲乙两容器内都盛有酒精，甲有v1公斤，乙有v2公斤.甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1，乙中纯酒精与水之比为m2:n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？

全国统考三角函数的诱导公式

若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x,y,z成等差数列.

已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)(1) m是什么数值时，y的极值是0？(2) 求证：不论m是什么数值，函数图像（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1,0,1时抛物线的草图，来检验这个结论.(3) 平行于l1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于l1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1 ,3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=π/2.

数列

中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图， DD1,CC1,BB1,AA1是举， OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1/OD1 =0.5,CC1/DC1 =k1,BB1/CB1 =k2,AA1/BA1 =k3，若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=【】

已知{an }为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4．（1）证明：a1=b1；（2）求集合{ k| bk=am+a1,1≤m≤500}中元素个数．

记Sn为数列{an }的前n项和．已知2Sn/n+n=2an+1．（1）证明：{an }是等差数列；（2）若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．

等差数列{an}的各项均为正数，首项与公差相等，=2，则a4的值为【】

设a1,a2,⋯为首项为7，公差为8的等差数列，对于∀n≥1,T1,T2,⋯满足T1=3,Tn+1-Tn=an，则以下选项正确的是【】

Find the sum of the arithmetical series 49,44,39,… to 17 terms.

求证 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

求级数1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+⋯ n项及无穷项之和.其第n项为1/(2n-1)(2n+1).

有相交之二直线 a 及 b，自 a 上之一点作 b 之垂线，复自其在 b 上之垂足向 a作垂线，更自第二个垂足作 b 之垂线，如此继续作成无数根垂线，设第一垂线之长为 7，第二垂线之长为 6，求此无数垂线长之和.

设a,b,c三数成调和级数，试证1/a+1/c+1/(a-b)+1/(c-b)=0.

数列与推理

问级数1-x/√1+x²/√2-x³/√3+⋯何时收敛？

试述无穷级数为收敛或发散之定义 (definition of convergence or divergence)并讨论普遍项 (general term) 如下之二无穷级数，何时为收?何时为发散?(1) Un=xn+1 [log⁡(n+1) ]q(log 表以e 为底之对数)(2) Un=xn (cosn⁡θ+cosn-1⁡θ sinθ+cosn-2⁡θ sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ )(0<θ<π/4)

设a1,a2,a3,⋯,an成调和级数，试证：a1 a2+a2 a3+a3 a4+⋯+an-1 an=(n-1) a1 an

证明：(+1)(+1)⋯(+1)=(-1)/(x-1)

求2+22+23+⋯+2n之和，并利用之以证1+3×2+5×22+⋯+(2n-1)∙2n-1=3-2n+(n-1) 2n+1.

等差级数，等比级数以及调和级数各项的倒数各成什么级数?

问θ为何种数值时，sinθ+sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ+⋯成一收敛级数.

求证：1³+2³+⋯+n³=1/4 n²(n+1)².

若a1,a2,⋯,an为已知正数，试求atctan(a1-a2)/(1+a1 a2)+atctan(a2-a3)/(1+a2 a3)+⋯+atctan(an-1-an)/(1+an-1 an)的值.

级数1!/102 -2!/103 +3!/104 -⋯是收敛的还是发散的？