高中数学-高考试题(全国统考 1979年代数式)

问答题（1979年全国统考）

甲乙两容器内都盛有酒精，甲有v₁公斤，乙有v₂公斤.甲中纯酒精与水（重量）之比为m₁:n₁，乙中纯酒精与水之比为m₂:n₂，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？

答案解析

甲中纯酒精(m1 v1)/(m1+n1 )公斤，含水(n1 v1)/(m1+n1 )公斤.乙中纯酒精(m2 v2)/(m2+n2 )公斤，含水(n2 v2)/(m2+n2 )公斤.甲、乙共含纯酒精(m1 v1)/(m1+n1 )+(m2 v2)/(m2+n2 )=[m1 v1 (m2+n2)+m2 v2 (m1+n1)]/(m1+n1)(...

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讨论

高中数学

全国统考三角函数的诱导公式

若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x,y,z成等差数列.

已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)(1) m是什么数值时，y的极值是0？(2) 求证：不论m是什么数值，函数图像（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1,0,1时抛物线的草图，来检验这个结论.(3) 平行于l1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于l1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1 ,3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=π/2.

已知△ABC三内角的大小成等差数列，tanAtanC=2+，求角A，B，C的大小；又知顶点C的对边c上的高等于4，求三角形各边a，b，c的长.（提示：必要时可验证(1+)2=4+2）

已知log189=a(a≠2)，18b=5，求log3645.

如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点 . 求证：(1) CD=CM=CN；(2) CD2=AM•BN.

已知方程 kx2+y2=4 ，其中k为实数。对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图．

全国统考幂函数

不查表，求 cos80°cos35°＋ cos10°cos55°的值．

线性代数

若多项式 f(x) 之系数皆为整数，且 f(0) 及 f(1) 又均为奇数，试证 f(x) = 0绝无整数根.

分解因式 x4-23x2+1

分解因式 y2 z2 (x4-1)+x2 (y4-x4)

试将下式分为分项分数(2x3-x2+1)/(x-2)4

若 x³ + 3px² + 3qx +r 及 x² + 2px +q 有一个一次公因子，试问 p,g,r 之间应有何种关系？又若有两个一次公因子，则其关系又若何?

分x3/(x+1)4 为分项分数.

Simplify yz(x+a)/(x-y)(x-z)+zx(y+a)/(y-z)(y-x)+xy(z+a)/(z-x)(z-y)

析(3x²+x-2)/(x-2)²(1-2x)为部分分式.

若下式(x+p)(x+2q)+(x+2p)(x+q)为含有x的整平方式，则9p²-14pq+9q²=0.

若(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)+(x+a)(x+b)为含x的整平方式，则a=b=c.

代数式

若 a² = ab,则a=b 对不对? 为什么?

试求适合5x+3y>121,7/4 x+y=42 二式之x,y之值之界限.

劈生数(因式分解)：(2x+3y)²-(x-4y)²

劈生数(因式分解)：a4+a²b²+b4

解明：(6x+5)/(8x-15)-(1+8x)/15=(1-x)/3+(3-x)/5

x4+4之有理因子为____________.

设a:b = x:y，试证 (a³ + 2b³) : ab² = (z³ +2y³) : xy².

某校招考学生，投考的有 540 人，考取 15%，是多少人?

某学生带银去买书籍等物; 要用所有银的1/4买字典，1/5买地理，1/6买文具，这样算，付价之后，还可以剩银23/10元; 问他带去银是多少?