高中数学-高考试题(全国统考 1978年三角形)

问答题（1978年全国统考）

已知△ABC三内角的大小成等差数列，tanAtanC=2+，求角A，B，C的大小；又知顶点C的对边c上的高等于4，求三角形各边a，b，c的长.（提示：必要时可验证(1+)²=4+2）

答案解析

由图知A<B<C.∵ A+B+C=180°，2B=A+C.∴ 3B=180°，B=60°，A+C=120°. ∵ tanAtanC=2+ ①而 tan⁡(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)∴ tanA+tanC=(1-tanAtanC)tan⁡(A+C)= [1-(2+)]tan120°= (-1-)(-)= 3+. ②由①②知 tanA，tanC是x2-(3+...

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讨论

高中数学

已知log189=a(a≠2)，18b=5，求log3645.

如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点 . 求证：(1) CD=CM=CN；(2) CD2=AM•BN.

已知方程 kx2+y2=4 ，其中k为实数。对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图．

全国统考幂函数

不查表，求 cos80°cos35°＋ cos10°cos55°的值．

求函数y=的定义域.

已知正方形的边长为 a ，求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积

分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.

证明：存在正常数c具有卜述性质：对任意整数n>1，以及平面上n个点的集合 S ，若 S中任意两点之间的距离不小于 1 ，则存在一条分离 S 的直线l , 使得 S 中的每个点到直线的距离不小于cn-1/3 . （我们称直线l分离点集 S , 如果某条以S中两点为端点的线段与l相交．)注．如果证明了比cn-1/3 弱的估计cn-α ，会根据α>1/3 的值，适当给分．(中国台湾供题)

有一叠n>1 张卡片．在每张卡片上写有一个正整数．这叠卡片具有如下性质：其中任意两张上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值．确定所有的n，使得可以推出所有卡片上的数均相等．(爱沙尼亚供题)

三角形

三角形ABC中，其边为a,b,c，内接圆半径为r，试证：a+b+c=2r(cot⁡(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2))

With BC, one leg of △ABC, as diameter, a circle is described intersecting the hypotenuse AC at P. From P draw a tangent intersecting AB at D. Showt hat AD = BD.

The sides of a triangle are 149,163 and 222. To find(1) The area of the triangle.(2) The radius of the inscribed circle.(3) The angles of the triangle.

在△ABC的边AB,AC上各取D,E点，使AD=1/3 AB,AE=1/3 AC，连结BE,CD相交于F点.求证：S△FBC=1/2 S△ABC.

设 △ABC 的重心为 G，BC、CA 的中点为 E、F，设 △ABC 的面积为 K，求△GEF 的面积.

在 △ABC 内作 AE 及 BD，假设 ∠CAE < ∠CBD，∠BAE < ∠ABD，求证 AE> BD.

自 △ABC 的顶点 A 引 ∠B 的内外角平分线之垂线，则此两垂足与 AB，AC两边的中点共线.求证之.

Consider the convex quadrilateral ABCD. The point P is in the interior of ABCD. The following ratio equalities hod:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.Prove that the following three lines meet in a point : the internal bisectors of angles ∠ADP and ∠PCB and the perpendicular bisector of segment AB.设P是凸四边形ABCD内部一点，且满足：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明：∠ADP的内角平分线、∠PCB的内角平分线和线段AB的中垂线，三线共点。（波兰供题）

试证三角形之三中线相会于一点.

直角三角形之斜边上所画之正三角形之面积，等于其余两边上所画之正三角形之面积之和.

平面几何

自 △ABC 的顶点 A 至对边作垂线，自垂足 D 作 AB、AC 过之垂线，其垂足为 E、F，证明 B,E,F,C 共圆.

设O为圆心，AB为弦，延长AB至C，令BC等于圆半径，再引CO交圆于D，求证：∠BOC为∠DOA的1/3.

于任意 △ABC 之各边上向外作等边三角形 BCD，CAE 及 ABF，试证此诸等边三角形的外接圆共点.若此点为 P，则 PA+PB + PC =AD =BE =CF.

给定整数n > 1 ．在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站．有两家缆车公司 A 和B，各运营 k 辆缆车；每辆从一个车站运行到某个更高的车站（中间不停留其他车站） . A 公司的 k 辆缆车的k个起点互不相同， k 个终点也互不相同，并且起点较高的缆车，它的终点也较高． B 公司的缆车也满足相同的条件．我们称两个车站被某家公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站（中间不允许在车站之间有其他移动）. 确定最小的正整数 k ，使得一定有两个车站被两家公司同时连接．(印度供题）

已知直线 y = kx + b (k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 和圆 (x − 4)2 + y2 = 1 均相切, 则 k = _______, b = _______.

There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:● The total weights of both piles are the same.● Each pile contains two pebbles of each colour.有 4n 枚石子，重量分别为 1 , 2 , 3 , … ， 4n ．每一枚小石子都染了n种颜色之一，使得每种颜色的小石子恰有四枚．证明：可以把这些小石子分成两堆，且满足以下两个条件：● 两堆小石子的总重量相同；● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚．(匈牙利供题)

沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，(AB) ̂是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在(AB) ̂上，CD⊥AB.“会圆术”给出(AB) ̂的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2/OA.当OA=2,∠AOB=60°时，s=【】

过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．

任意之外切四边形，相对两边之和等于其他相对两边之和，试证明之.

If two circles tangent at C and a common exterior tangent touches the circles in A and B, the angle ACB is a right angle.