高中数学-高考试题(厦门大学 1947年三角形)

证明题（1947年厦门大学）

等积各三角形，证明其等腰者周界为极小，当其底相等时.

答案解析

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讨论

高中数学

设A+B+C=90°，则tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=1，试证之.

求cos40°cos60°cos80°之值.

已知二圆C1:x²+y²-6x=0,C2:x²+y²-4=0，求通过C1,C2之两交点及另一点(2,-2)之圆的方程式.

试求椭圆中诸平行弦之中点轨迹的方程式.

山东大学行列式

若方程式ax³+3bx²+3cx+d=0有二相等之根，则其系数间之关系为(bc-ad)²=4(ac-b²)(bd-c²)试证之.

证明自椭圆二焦点至其任意切线之垂直距离，其乘积为一常数.

加法及乘法之交换律，结合律，分配律如何？

表通常十进数 345 为二进数

问ai=?(i=√(-1))

三角形

三等边三角形顶角之外角，二等分线与底边平行.

由直角三角形之直角顶，作其对边之垂线，求证此垂线之平方等于其所分底线两段之积.

三角形各内角平分线必交于一点，试证之.

设已知三角形之底边、面积及其顶角，求作此形.

知一边一邻角及其余二边之和，求作三角形。

设一三角形之底边为 600 尺，其二底角一为 30°，一为 120°，试求其他二边及其高为若干尺。

有 Rt△ABC(C为直角)，以A为圆心，斜边之长为直径作圆，割 AC 于点 D及 AB 于点 O，自 D 引与 AO 正交之弦 DE，证 △ADE 与 △OCB 全等.

三角形二边之和大于其他一边.

试证三角形之三中线相会于一点.

直角三角形之斜边上所画之正三角形之面积，等于其余两边上所画之正三角形之面积之和.

平面几何

于圆内接四边形内，若两对角线成垂直，求证对角线交点与一边中点之距离等于自圆心至对边之距离.

于三角形 ABC之BC边上任取X点作ABX及ACX两圆.(1)求证此两圆直径之比为AB:AC；(2)若BX:XC=m:n,试示①(m+n)cotAXC=ncotB-mcotC.②(m+n)2 AX2=(m+n)(mb2+nc2 )-mna2，其中a=BC,b=CA,c=AB.

证明：对于一组共轴圆 (co-axial circles) 一定点之诸极线 (polars) 必通过一定点，且一定直线之诸极 (poles) 必在一直线上.

以 n 角形之顶点为顶点，而不是 n 角形之边为边之三角形共有若干？

设R为三角形之外接圆半径，试证 acosA+bcosB+ccosC = 4RsinAsinBsinC.

AO 为圆之半径，过垂直于此之直径上一点 B，引任意弦 BP，从此弦之一端P 引切线 PC 与OB 之延线会于 C，证 CB =CP.

某城街路为棋盘式，走向南北者有 a 条，而走向东西者有 6 条，一行人欲由西北隅向最短之路走到东南隅，问计共有若干方法？

设二圆之连心线交一圆于 A,B 两点，交第二圆于 D,C 二点，又交二圆之一外公切线于 P 点，设在连心线上，点 A 距 P 最近，点 D 距 P 最远，试证：PA· PD = PB·PC.

圆内接四边形 ABCD 内，∠A = 90°,AB = a,BC = b，其面积为 c²，求CD,DA 及圆半径之长.

圆之直径 AB 上任意取 P 点，又 CD 与直径平行，求证 AP² + BP²=CP² + DP².