高中数学-高考试题(交通大学 1946年圆)

证明题（1946年交通大学）

于三角形 ABC之BC边上任取X点作ABX及ACX两圆.

(1)求证此两圆直径之比为AB:AC；

(2)若BX:XC=m:n,试示

①(m+n)cotAXC=ncotB-mcotC.

②(m+n)² AX²=(m+n)(mb²+nc² )-mna²，

其中a=BC,b=CA,c=AB.

答案解析

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讨论

三角函数及性质

已知f(x)=3sinx+2，对任意的x1∈[0,π/2]，都存在x2∈[0,π/2]，使得f(x1)=2f(x2+θ)+2成立，则下列选中θ可能的值是【】

(tg(-120°)∙cos⁡(-240°)∙cos480°)/(tg(-60°)∙sin⁡(-105°))

已知x∈(-π/2,0),cosx=4/5，则tan2x=【】

已知f(x)=1/2 sin2x，关于该函数的四个说法：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[-π/4,π/4]上单调递增；③当x∈[-π/6,π/3]时，f(x)的取值范围为[-√3/4,√3/4]；④f(x)的图像可由g(x)=1/2 sin⁡(2x+π/4)向左平移π/8个单位长度得到.正确的个数有【】个

设2sinA=cosA,求sinA及cosA之值.

tan30°=______.

tan45°=______.

tan60°=______.

对于-π/4<β<0<α<π/4，已知sin⁡(α+β)=1/3,cos⁡(α-β)=2/3，则不大于(sinα/cosβ+cosβ/sinα+cosα/sinβ+sinβ/cosα)²的最大整数为______.

2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日 (π Day). 历史上, 求圆周率的方法有多种, 与中国传统数学中的“割圆术”相似, 数学家阿尔 • 卡西的方法是: 当正整数 n 充分大时, 计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形 (各边均与圆相切的正 6n 边形) 的周长, 将它们的算术平均数作为 2π 的近似值. 按照阿尔 • 卡西的方法, π 的近似值的表达式是【】

三角形

三角形二边之和大于其他一边.

试证三角形之三中线相会于一点.

直角三角形之斜边上所画之正三角形之面积，等于其余两边上所画之正三角形之面积之和.

试证同底之三角形且在同平行线内其面积相等，又证明如何作一三角形令其面积等于已知之四边形.

试言已知三角形之两角及一角之对边,求作其形之方法.

如图，在三角形ABC中∠BAC=60°，BD平分∠ABC，交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，BD和CE交于F，则∠EFB=【】

设 AD 为 ∠ABC 之中线；∠ADB 之平分线交 AB 于E，∠ADC 之平分线交AC 于F，试证 EF// BC.

若三角形的两边不等，它的对不等边的两角也必不等，并且大角必对大边.

△ABC 之边 AC 之三等分点之中，设近于 A 之点为 D，而 BC 之中点为 E时，则 AE 为 BD 所二等分.

试证: 直角三角形之弦上正方形之面积，与其他两边之平方形面积之和相等.

圆

如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=______度.

沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，(AB) ̂是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在(AB) ̂上，CD⊥AB.“会圆术”给出(AB) ̂的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2/OA.当OA=2,∠AOB=60°时，s=【】

过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．

如图，AD=BC=6，AB=20，∠ABC=∠DAB=120°，O为AB中点，曲线CMD上所有的点到O的距离相等，MO⊥AB，P为曲线CM上的一动点，点Q与点P关于OM对称.(1)若P在点C的位置，求∠POB的大小; (2)求五边形MQABP面积的最大值.

Suppose a convex pentagon ABCDE such that BC=DE.If there exists a point T inside ABCDE suchthat TB=TD TC=TE and ∠ABT=∠TEA. AB meet CD and CT at point P and Q respectively, withP,B,A,Q in this order on the same line. AE meet CD and DT at point R and S respectively, with R,E,A,S in this order on the same line.Prove that P,S,Q,R are on the same circle.译文：设凸五边形ABCDE满足BC=DE.若在ABCDE内存在一点T使得TB=TD,TC=TE且∠ABT= ∠TEA.直线AB分别与直线CD和CT交于点P和Q，且P,B,A,Q在同一直线上按此顺序排列;直线AE分别与直线CD和DT交于点R和S，且R,E,A,S在同一直线上按此顺序排列.证明：P,S,Q,R 四点共圆.

如图所示，在△ABC中，H是垂心.以H为圆心，过点A的圆与边AC,AB分别相交于不同于A的另外两点D,E.△ADE的垂心是H'，AH'的延长线与DE相交于点F.点P在四边形BCDE内部，满足△PDE∽△PBC(顶点按对应顺序排列).设直线HH',PF相交于点K，证明：A,H,P,K四点共圆.

小陶同学玩如下游戏：取定大于1的常数v；对正整数m，第m轮与第m+1轮间隔为2-m单位时长；其中第m轮是在平面上取一个半径为2-m+1的圆形安全区域(含边界，取圆时间忽略不计)；取定后，该圆形安全区域将在整个游戏剩余时间内保持圆心不动，半径以速率v匀速减小，直至半径为零时，去掉该圆形安全区域.若小陶可在第100轮之前(含第100轮)的某轮将圆形安全区域完全取在已有的安全区域内，求[1/(v-1)]的最小值([x]表示不超过x的最大整数).

如图所示，四边形ABCD内接于圆，(AB) ̅=5,(AC) ̅=3√5,(AD) ̅=7,∠BAC=∠CAD，则圆的半径为【】

在△ABC中，AB=1,AC=3,∠BAC=π/2，半径为r>0的圆与边AB,AC相切，且也内切于△ABC的外接圆，则r的值为__________.

设两弦于圆内相交，其两线分之积，彼此相等，试证明之.