高中数学-高考试题(交通大学 1946年圆)

证明题（1946年交通大学）

于三角形 ABC之BC边上任取X点作ABX及ACX两圆.

(1)求证此两圆直径之比为AB:AC；

(2)若BX:XC=m:n,试示

①(m+n)cotAXC=ncotB-mcotC.

②(m+n)² AX²=(m+n)(mb²+nc² )-mna²，

其中a=BC,b=CA,c=AB.

答案解析

暂无答案

讨论

三角函数及性质

已知函数f(x)=tanx,x∈(0,π/2).若x1,x2∈(0,π/2),且x1≠x2,证明1/2 [f(x1)+f(x2)]>f((x1+x2)/2).

函数y=4sin⁡(3x+π/4)+3cos(3x+π/4)的最小正周期是【】

tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值时________.

若sinθcosθ>0，则θ在【】

求函数y=(sinx+cosx)2+2cos2x的最小正周期.

下列区间中，函数f(x)=7sin⁡(x-π/6)单调递增的区间是【】

记函数f(x)=cos⁡(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)=√3/2，x=π/9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．

函数f(x)=cos2⁡x-sin2⁡x+1的周期为________.

已知x∈(-π/2,0),cosx=4/5，则tan2x=【】

已知f(x)=1/2 sin2x，关于该函数的四个说法：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[-π/4,π/4]上单调递增；③当x∈[-π/6,π/3]时，f(x)的取值范围为[-√3/4,√3/4]；④f(x)的图像可由g(x)=1/2 sin⁡(2x+π/4)向左平移π/8个单位长度得到.正确的个数有【】个

三角形

设已知三角形之底边、面积及其顶角，求作此形.

知一边一邻角及其余二边之和，求作三角形。

设一三角形之底边为 600 尺，其二底角一为 30°，一为 120°，试求其他二边及其高为若干尺。

有 Rt△ABC(C为直角)，以A为圆心，斜边之长为直径作圆，割 AC 于点 D及 AB 于点 O，自 D 引与 AO 正交之弦 DE，证 △ADE 与 △OCB 全等.

若三角形的两边不等，它的对不等边的两角也必不等，并且大角必对大边.

△ABC 之边 AC 之三等分点之中，设近于 A 之点为 D，而 BC 之中点为 E时，则 AE 为 BD 所二等分.

试证: 直角三角形之弦上正方形之面积，与其他两边之平方形面积之和相等.

证明 △ABC 中过 B,C 二顶点之二中线等长，则 △ABC 为等腰，并证明其逆定理.

证明：等腰三角形两腰上的高相等.

为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB.

圆

Suppose a convex pentagon ABCDE such that BC=DE.If there exists a point T inside ABCDE suchthat TB=TD TC=TE and ∠ABT=∠TEA. AB meet CD and CT at point P and Q respectively, withP,B,A,Q in this order on the same line. AE meet CD and DT at point R and S respectively, with R,E,A,S in this order on the same line.Prove that P,S,Q,R are on the same circle.译文：设凸五边形ABCDE满足BC=DE.若在ABCDE内存在一点T使得TB=TD,TC=TE且∠ABT= ∠TEA.直线AB分别与直线CD和CT交于点P和Q，且P,B,A,Q在同一直线上按此顺序排列;直线AE分别与直线CD和DT交于点R和S，且R,E,A,S在同一直线上按此顺序排列.证明：P,S,Q,R 四点共圆.

如图所示，在△ABC中，H是垂心.以H为圆心，过点A的圆与边AC,AB分别相交于不同于A的另外两点D,E.△ADE的垂心是H'，AH'的延长线与DE相交于点F.点P在四边形BCDE内部，满足△PDE∽△PBC(顶点按对应顺序排列).设直线HH',PF相交于点K，证明：A,H,P,K四点共圆.

小陶同学玩如下游戏：取定大于1的常数v；对正整数m，第m轮与第m+1轮间隔为2-m单位时长；其中第m轮是在平面上取一个半径为2-m+1的圆形安全区域(含边界，取圆时间忽略不计)；取定后，该圆形安全区域将在整个游戏剩余时间内保持圆心不动，半径以速率v匀速减小，直至半径为零时，去掉该圆形安全区域.若小陶可在第100轮之前(含第100轮)的某轮将圆形安全区域完全取在已有的安全区域内，求[1/(v-1)]的最小值([x]表示不超过x的最大整数).

如图所示，四边形ABCD内接于圆，(AB) ̅=5,(AC) ̅=3√5,(AD) ̅=7,∠BAC=∠CAD，则圆的半径为【】

在△ABC中，AB=1,AC=3,∠BAC=π/2，半径为r>0的圆与边AB,AC相切，且也内切于△ABC的外接圆，则r的值为__________.

设两弦于圆内相交，其两线分之积，彼此相等，试证明之.

圆内各等弦中点之轨迹为一同心圆周，试证之.

设由圆外一点作一切线一割线，证明此切线为割线及其圆外线分的比例中率.

设一圆之半径为 25 尺，其外切四边形之圆界为 400 尺，试求此四边形之面积。

作通过二定点，中心在一定直线上之圆.