高中数学-高考试题(韩国 2022年11月圆)

单项选择（2022年11月韩国）

如图所示，四边形ABCD内接于圆，(AB) ̅=5,(AC) ̅=3√5,(AD) ̅=7,∠BAC=∠CAD，则圆的半径为【】

A、5√2/2

B、8√2/5

C、5√2/3

D、8√2/3

E、9√2/4

答案解析

暂无答案

讨论

高中数学

记曲线y=x3+x2,y=-x2+k(4<k<5)与y轴围成的面积为A，这两条曲线与直线x=2围成的面积为B，如图所示，若A=B，则k的值为【】

函数f(x)=a-√3tan2x在闭区间[-π/6,b]上的最大值为7，最小值为3，则a×b的值为【】

过点(0,4)作曲线y=x3-x+2的切线，这条切线在x轴上的截距为【】

等差数列{an}的各项均为正数，首项与公差相等，=2，则a4的值为【】

已知函数f(x)=2x3-9x2+ax+5在x=1处取得极大值，在x=b处取得极小值，则a+b的值为【】

已知tanθ<0,cos⁡(π/2+θ)=√5/5，则cosθ的值为【】

设f(x)为多项式函数，g(x)=x2 f(x)，若f(2)=1,f'(2)=3，则g'(2)的值为【】

在公比为正数的等比数列{an}中，a2+a4=30,a4+a6=15/2，则a1的值为【】

韩国连续与极限

计算(4/2√2 )2+√2的值为【】

圆

于任意 △ABC 之各边上向外作等边三角形 BCD，CAE 及 ABF，试证此诸等边三角形的外接圆共点.若此点为 P，则 PA+PB + PC =AD =BE =CF.

如图，△ABC为给定的锐角三角形，其内切圆ω分别与边AB,AC切于点K,L.高AH分别与∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,Q.设ω1,ω2分别为△KPB,△LQC的外接圆，AH的中点ω1,ω2外，求证：从AH的中点引向ω1,ω2的切线相等.

如图所示，在△BC中，M是边AC的中点，D,E是△ABC的外接圆在点A处的切线上的两点，满足MD//AB，且A是线段DE的中点，过A,B,E三点的圆与边AC相交于另一点P，过A,D,P三点的圆与DM的延长线相交于点Q.证明：∠BCQ=∠BAC.

Let ABC be an acute-angled triangle with AB > AC. Let P be the intersection of the tangents to the circumcircle of ABC at B and C. The line through the midpoints of line segments PB and PC meets lines AB and AC at X and Y respectively.Prove that the quadrilateral AXPY is cyclic.【译】在锐角三角形ABC中，AB>AC，△ABC的外接圆在点B和点C处的切线交于点P.一条同时过PB和PC中点的直线与AB,AC分别交于点X,Y.求证：A,X,P,Y四点共圆.

Let BC be a fixed segment in the plane, and let A be a variable point in the plane not on the line BC. Distinct points X and Y are chosen on the rays (CA) ⃗ and (BA) ⃗, respectively, such that ∠CBX=∠YCB=∠BAC.Assume that the tangents to the circumcircle of ABC at B and C meet line XY at P and Q, respectively, such that the points X,P,Y, and Q are pairwise distinct and lie on the same side of BC. Let Ω1 be the circle through X and Y centred on BC. Similarly let Ω2 be the circle through Y and Q centred on BC. Prove that Ω1 and Ω2 intersect at two fixed points as A varies.【译】在同一平面内，BC为给定线段，动点A不在直线BC上. X和Y分别为射线(CA) ⃗，射线(BA) ⃗上不重合的两点，满足∠CBX=∠YCB=∠BAC.若三角形ABC外接圆在点B和C处的切线分别交直线XY于点P和点Q，点X,P,Y,Q不重合，且位于直线BC同侧.圆Ω1经过点X,P且圆心在BC上.类地，圆Ω2经过点Y,Q且圆心在BC上.证明：当点A运动时，圆Ω1和圆Ω2始终交于两定点.

已知直线 y = kx + b (k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 和圆 (x − 4)2 + y2 = 1 均相切, 则 k = _______, b = _______.

如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点 . 求证：(1) CD=CM=CN；(2) CD2=AM•BN.

半径为 1 , 2 , 3 的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．

如图，AD=BC=6，AB=20，∠ABC=∠DAB=120°，O为AB中点，曲线CMD上所有的点到O的距离相等，MO⊥AB，P为曲线CM上的一动点，点Q与点P关于OM对称.(1)若P在点C的位置，求∠POB的大小; (2)求五边形MQABP面积的最大值.

Suppose a convex pentagon ABCDE such that BC=DE.If there exists a point T inside ABCDE suchthat TB=TD TC=TE and ∠ABT=∠TEA. AB meet CD and CT at point P and Q respectively, withP,B,A,Q in this order on the same line. AE meet CD and DT at point R and S respectively, with R,E,A,S in this order on the same line.Prove that P,S,Q,R are on the same circle.译文：设凸五边形ABCDE满足BC=DE.若在ABCDE内存在一点T使得TB=TD,TC=TE且∠ABT= ∠TEA.直线AB分别与直线CD和CT交于点P和Q，且P,B,A,Q在同一直线上按此顺序排列;直线AE分别与直线CD和DT交于点R和S，且R,E,A,S在同一直线上按此顺序排列.证明：P,S,Q,R 四点共圆.

平面几何

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2，…,n,从上到下的第i行恰有个圆，且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内，忍者路径是指一串由n个圆组成的序列，从最上面一行的圆开始，每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一，直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

给定整数n > 1 ．在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站．有两家缆车公司 A 和B，各运营 k 辆缆车；每辆从一个车站运行到某个更高的车站（中间不停留其他车站） . A 公司的 k 辆缆车的k个起点互不相同， k 个终点也互不相同，并且起点较高的缆车，它的终点也较高． B 公司的缆车也满足相同的条件．我们称两个车站被某家公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站（中间不允许在车站之间有其他移动）. 确定最小的正整数 k ，使得一定有两个车站被两家公司同时连接．(印度供题）

There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:● The total weights of both piles are the same.● Each pile contains two pebbles of each colour.有 4n 枚石子，重量分别为 1 , 2 , 3 , … ， 4n ．每一枚小石子都染了n种颜色之一，使得每种颜色的小石子恰有四枚．证明：可以把这些小石子分成两堆，且满足以下两个条件：● 两堆小石子的总重量相同；● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚．(匈牙利供题)

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【】

Let n be a positive integer. A“Northern European Square Matrix (NESM) is an n×n square containing all the integers from 1 to n²,so that there is exactly one number in each grid.The two different grids are neighbours if they share a common edge.A grid is called a "valley”if the integer in it in smaller than the integers in all the neighbours of the grid. An "uphill path”is a sequence containing one or more grids satisfying:(i)the frist grid of the sequence is a valley,(ii) each subsequent grid in the sequence is the neighbour of its previous grid,(iii) the integers in the girds of the sequence is incremented.Figure out the minimum possible value of the number of uphill paths in a NESM which should be represented by a function of n.译文：令n为一个正整数，一个“北欧方阵”是一个包含1至n²所有整数的n×n的方格表，使得每个方格中恰有一个数字。两个相异方格如果有公共边，称它们是相邻的。如果一个方格内的数字比所有相邻方格内的数字都小，称其为“山谷”。一条“上坡路径”是一个包含一或多个方格的序列，满足：(1)序列的第一个方格是山谷；(2)序列中随后的每个方格都和前一个方格相邻；(3)序列中方格所写的数字递增。试求一个北欧方阵中山坡路径的最小可能值，以n的函数表示之。

如图所示，在△ABC中，H是垂心.以H为圆心，过点A的圆与边AC,AB分别相交于不同于A的另外两点D,E.△ADE的垂心是H'，AH'的延长线与DE相交于点F.点P在四边形BCDE内部，满足△PDE∽△PBC(顶点按对应顺序排列).设直线HH',PF相交于点K，证明：A,H,P,K四点共圆.

小陶同学玩如下游戏：取定大于1的常数v；对正整数m，第m轮与第m+1轮间隔为2-m单位时长；其中第m轮是在平面上取一个半径为2-m+1的圆形安全区域(含边界，取圆时间忽略不计)；取定后，该圆形安全区域将在整个游戏剩余时间内保持圆心不动，半径以速率v匀速减小，直至半径为零时，去掉该圆形安全区域.若小陶可在第100轮之前(含第100轮)的某轮将圆形安全区域完全取在已有的安全区域内，求[1/(v-1)]的最小值([x]表示不超过x的最大整数).

于圆内接四边形内，若两对角线成垂直，求证对角线交点与一边中点之距离等于自圆心至对边之距离.

于三角形 ABC之BC边上任取X点作ABX及ACX两圆.(1)求证此两圆直径之比为AB:AC；(2)若BX:XC=m:n,试示①(m+n)cotAXC=ncotB-mcotC.②(m+n)2 AX2=(m+n)(mb2+nc2 )-mna2，其中a=BC,b=CA,c=AB.

证明：对于一组共轴圆 (co-axial circles) 一定点之诸极线 (polars) 必通过一定点，且一定直线之诸极 (poles) 必在一直线上.