问答题(2022年7月国际数学奥林匹克

Let n be a positive integer. A“Northern European Square Matrix (NESM) is an n×n square containing all the integers from 1 to n²,so that there is exactly one number in each grid.The two different grids are neighbours if they share a common edge.A grid is called a "valley”if the integer in it in smaller than the integers in all the neighbours of the grid. An "uphill path”is a sequence containing one or more grids satisfying:(i)the frist grid of the sequence is a valley,(ii) each subsequent grid in the sequence is the neighbour of its previous grid,(iii) the integers in the girds of the sequence is incremented.Figure out the minimum possible value of the number of uphill paths in a NESM which should be represented by a function of n.

译文:

令n为一个正整数,一个“北欧方阵”是一个包含1至n²所有整数的n×n的方格表,使得每个方格中恰有一个数字。两个相异方格如果有公共边,称它们是相邻的。如果一个方格内的数字比所有相邻方格内的数字都小,称其为“山谷”。一条“上坡路径”是一个包含一或多个方格的序列,满足:(1)序列的第一个方格是山谷;(2)序列中随后的每个方格都和前一个方格相邻;(3)序列中方格所写的数字递增。试求一个北欧方阵中山坡路径的最小可能值,以n的函数表示之。

答案解析

思路:把这些方格看作点,对相邻的两个方格,由值极小者到极大者连2n2-2n条线.对任意一条连线A到B,必然存在一条从A到B的上坡路,且谷本身为一条路,于是出现了2n2-2n+1条上坡路。证明最小值只需...

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讨论

Find all the groups of positive integers (a,b,p) satisfying p is a prime number and ap=b!+p.译文:求所有正整数组(a,b,p),满足:p为素数且ap=b!+p.

Suppose a convex pentagon ABCDE such that BC=DE.If there exists a point T inside ABCDE suchthat TB=TD TC=TE and ∠ABT=∠TEA. AB meet CD and CT at point P and Q respectively, withP,B,A,Q in this order on the same line. AE meet CD and DT at point R and S respectively, with R,E,A,S in this order on the same line.Prove that P,S,Q,R are on the same circle.译文:设凸五边形ABCDE满足BC=DE.若在ABCDE内存在一点T使得TB=TD,TC=TE且∠ABT= ∠TEA.直线AB分别与直线CD和CT交于点P和Q,且P,B,A,Q在同一直线上按此顺序排列;直线AE分别与直线CD和DT交于点R和S,且R,E,A,S在同一直线上按此顺序排列.证明:P,S,Q,R 四点共圆.

Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x. 译文:给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明:至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周,且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .

Let R+ denote the set of positive real numbers. Find all functions f:R⟶R such that for each x∈R+, there is exactly one y∈R+ satisfying:xf(y)+yf(x)≤2.译文:设R+表示所有正实数构成的集合.求所有函数f:R+→R+,使得对任意x∈R+,恰好有一个y∈R+满足条件:xf(y)+yf(x)≤2.

The Bank of Oslo issues two types of coin:aluminium(denoted A) and bronze(denoted B). Marianne has n aluminium coins and n bronze coins, arranged in a row in some arbitrary initial order.A chain is any subsequence of consecutive coins of the same type.Given a fixed positive integer k<2n, Marianne repeatedly performs the following operation:she identifies the longest chain containing the kth coin from the left and moves all coins in that chain to the left end of the row.For example, if n = 4 and k=4 the process starting from the ordering AABBBABA would beAABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.Find all pairs (n, k) with 1 ≤ k ≤2n such that for every initial ordering at some moment during the process,the leftmost n coins will all be of the same type. 译文:奥斯陆银行发行了两种货币:铝币(记为A)和铜币(记为B).玛丽安有n枚铝币和n枚铜币,以任意初始方式排成一排。定义一条链为任意由相同类型货币构成的连续子列。给定正整数k<2n,玛丽安重复地进行如下操作:她找出包含(从左到右)第k枚硬币的最长链,然后把该链中所有货币移到序列最左端。例如,n=4,k=4时,对于初始序列 AABBBABA,过程如下:AABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.求所有满足1≤k≤2n的数组(n,k),使得对任意初始序列,都可以在有限次操作内使左端为n枚相同的货币。

数列{an}中,a1=1,a2=3,若地任意n(n≥2)都存在正整数i(1≤i≤n-1)使得an+1=2an-ai.(1)求a4的所有可能值.(2)命题p:若a1,a2,a3,…,a8成等差数列,则a9<30,证明命题p为真;写出p的逆命题q,并判断q的真假,若命题q为真则证明,若命题q为假,请举出反例.(3)若对任意正整数m,a2m=3m,求数列{an}的通项公式.

已知Γ:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 (-√2,0),F2 (√2,0),A为Γ的下顶点,M为直线l:x+y-4√2=0上一点.(1)若a=2,AM的中点在x轴上,求点M的坐标;(2)直线l交y轴于点B,直线AM经过点F2,若△ABM有一个内角的余弦值为3/5,求b;(3)若椭圆Γ上存在点P到直线l的距离为d,且满足d+|PF1 |+|PF2 |=6,当a变化时,求d的最小值.

如图,AD=BC=6,AB=20,∠ABC=∠DAB=120°,O为AB中点,曲线CMD上所有的点到O的距离相等,MO⊥AB,P为曲线CM上的一动点,点Q与点P关于OM对称.(1)若P在点C的位置,求∠POB的大小; (2)求五边形MQABP面积的最大值.

已知f(x)=log3(x+a)+log3(6-x).若将函数y=f(x)的图像向下平移m(m>0)个单位,经过点(3,0),(5,0),求a与m的值;若a>-3且a≠0,解关于x的不等式f(x)≤f(6-x).

如图所示三棱锥,底面为等边△ABC,O为AC中点,PO⊥平面ABC,AP=AC=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)若M为BC中点,求PM与平面PAC所成角的大小.

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【 】

某城街路为棋盘式,走向南北者有 a 条,而走向东西者有 6 条,一行人欲由西北隅向最短之路走到东南隅,问计共有若干方法?

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2,…,n,从上到下的第i行恰有个圆,且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内,忍者路径是指一串由n个圆组成的序列,从最上面一行的圆开始,每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一,直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

给定整数n > 1 .在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站.有两家缆车公司 A 和B,各运营 k 辆缆车;每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站) . A 公司的 k 辆缆车的k个起点互不相同, k 个终点也互不相同,并且起点较高的缆车,它的终点也较高. B 公司的缆车也满足相同的条件.我们称两个车站被某家公司连接,如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数 k ,使得一定有两个车站被两家公司同时连接.(印度供题)

There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:● The total weights of both piles are the same.● Each pile contains two pebbles of each colour.有 4n 枚石子,重量分别为 1 , 2 , 3 , … , 4n .每一枚小石子都染了n种颜色之一,使得每种颜色的小石子恰有四枚.证明:可以把这些小石子分成两堆,且满足以下两个条件:● 两堆小石子的总重量相同;● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚.(匈牙利供题)

The real numbers a,b,c,d are such that a≥b≥c≥d>0 and a+b+c+d=1.Prove that (a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.设实数a、b、c、d满足 a≥b≥c≥d>0 ,且 a+b+c+d=1 . 证明:(a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.(比利时供题)

有一叠n>1 张卡片.在每张卡片上写有一个正整数.这叠卡片具有如下性质:其中任意两张上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n,使得可以推出所有卡片上的数均相等.(爱沙尼亚供题)

证明:存在正常数c具有卜述性质:对任意整数n>1,以及平面上n个点的集合 S ,若 S中任意两点之间的距离不小于 1 ,则存在一条分离 S 的直线l , 使得 S 中的每个点到直线的距离不小于cn-1/3 . (我们称直线l分离点集 S , 如果某条以S中两点为端点的线段与l相交.)注.如果证明了比cn-1/3 弱的估计cn-α ,会根据α>1/3 的值,适当给分.(中国台湾供题)

对任意实数x1,…,xn,证明下述不等式成立:≤.

两只松鼠B和J为过冬收集了2021枚核桃. J将核桃依次编号为1到2021,并在它们最喜欢的树周围挖了一圈共2021个小坑.第二天早上, J发现B已经在每个小坑里放入了一枚核桃,但并未注意编号.不开心的J决定用2021次操作来改变这些核桃的位置.在第k次操作中把与第k号核桃相邻的两枚核桃交换位置.证明:存在某个λ,使得在第k次操作中, J交换了两枚编号为a和b的核桃,且a<k<b.

以 n 角形之顶点为顶点,而不是 n 角形之边为边之三角形共有若干?

△ABC 和△A'B'C'中,∠A >∠A’,则 BC >B'C'.

自 △ABC 的顶点 A 引 ∠B 的内外角平分线之垂线,则此两垂足与 AB,AC两边的中点共线.求证之.

Let ABC be an acute-angled triangle with AB > AC. Let P be the intersection of the tangents to the circumcircle of ABC at B and C. The line through the midpoints of line segments PB and PC meets lines AB and AC at X and Y respectively.Prove that the quadrilateral AXPY is cyclic.【译】在锐角三角形ABC中,AB>AC,△ABC的外接圆在点B和点C处的切线交于点P.一条同时过PB和PC中点的直线与AB,AC分别交于点X,Y.求证:A,X,P,Y四点共圆.

Let BC be a fixed segment in the plane, and let A be a variable point in the plane not on the line BC. Distinct points X and Y are chosen on the rays (CA) ⃗ and (BA) ⃗, respectively, such that ∠CBX=∠YCB=∠BAC.Assume that the tangents to the circumcircle of ABC at B and C meet line XY at P and Q, respectively, such that the points X,P,Y, and Q are pairwise distinct and lie on the same side of BC. Let Ω1 be the circle through X and Y centred on BC. Similarly let Ω2 be the circle through Y and Q centred on BC. Prove that Ω1 and Ω2 intersect at two fixed points as A varies.【译】在同一平面内,BC为给定线段,动点A不在直线BC上. X和Y分别为射线(CA) ⃗,射线(BA) ⃗上不重合的两点,满足∠CBX=∠YCB=∠BAC.若三角形ABC外接圆在点B和C处的切线分别交直线XY于点P和点Q,点X,P,Y,Q不重合,且位于直线BC同侧.圆Ω1经过点X,P且圆心在BC上.类地,圆Ω2经过点Y,Q且圆心在BC上.证明:当点A运动时,圆Ω1和圆Ω2始终交于两定点.

已知直线 y = kx + b (k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 和圆 (x − 4)2 + y2 = 1 均相切, 则 k = _______, b = _______.

如图,AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点 . 求证:(1) CD=CM=CN;(2) CD2=AM•BN.

设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形,过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A ,与 CF 的延长线相交于点 B . 求证:BF/AE=BC3/AC3 .

半径为 1 , 2 , 3 的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.

锐角△ABC中,AB>AC,M为其外接圆⊙O的劣弧BC的中点,K为A的对径点,过O作OD∥AM交AB于D,交CA的延长线于E,直线BM交直线CK于P,直线CM交直线BK于Q. 求证:∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC.