数列{an}中，a1=1,a2=3，若地任意n(n≥2)都存在正整数i(1≤i≤n-1)使得an+1=2an-ai.
(1)求a4的所有可能值.
(2)命题p：若a1,a2,a3,…,a8成等差数列，则a9<30，证明命题p为真；写出p的逆命题q，并判断q的真假，若命题q为真则证明，若命题q为假，请举出反例.
(3)若对任意正整数m,a2m=3m，求数列{an}的通项公式.
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问答题（2022年上海市）
答案解析
(1) a3=2a2-a1=2×3-1=5，a4=2a3-a1=2×5-1=9或a4=2a3-a2=2×5-3=7，∴a4的所有可能值为7或9.(2) 命题p：若a1,a2,a3,…,a8成等差数列, a1=1,a2=3，则an=2n-1,a8=15，对任意n(n≥2)，都存在正整数i(1≤i≤n-1)使得an+1=2an-a1，a9=2a8-ai≤2a8-a1=29<30，即a9<30成立，命题p为真.命题p的逆命题q：若a9<30，则a1,a2,…,a8成等差数列.结论：q为真命题.假设a8≥16，则a9=2a8-ai (1≤i≤7)，取i=1，有a9=2a8-a1=32-1=31>30，与a9<30矛盾，∴a8<16.易知a8∈N*,∴a8≤15. ①若a1,a2,…,ak单调递增，ak+1=2ak-ai=ak+(ak-ai )>ak (1≤i≤k-1)，∴a1,a2,…,a8单调递增，∴an+1=2an-ai (1≤i≤n-1)≥2an-an-1，当n=2时，a3=2a2-a1=5，a4≥2a3-a2=7,a5≥2a4-a3=9,…,a8≥2a7-a6=15. ②由①②得a8=15同时取等号的条件为a4=7,a5=9,a6=11,a7=13,a8=15，∴...
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在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线.②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是______（把要求的命题序号都填上)
已知a,b为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面且a⊥α,b⊥β，则下列命题的假命题是【 】
用计算器验算函数y= (x>1)的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是【 】
已知命题p:∃x∈R,sinx<1，命题q:∀x∈R,e|x| ≥1，则下列命题中为真命题的是【 】
设整数n≥100.伊凡把n,n+1,…,2n的每个数写在不同的卡片上.然后他将这n+1张卡片打乱顺序并分成两堆.证明：至少有一堆中包含两张卡片，使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数.
已知x1>0,x≠1,且xn+1=,(n=1,2,⋯).试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn<xn+1，或者对任意自然数n都满足xn>xn+1.
是否存在常数a,b,c使得等式1∙22+2∙32+⋯+n∙(n+1)2=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.
设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1) - n+an+1an=0(n=1,2,3⋅⋅⋅),则它的通项公式是an=______.