问答题(1989年全国统考

是否存在常数a,b,c使得等式1∙22+2∙32+⋯+n∙(n+1)2=(an2+bn+c)对一切自然数n都成立?并证明你的结论.

参考答案

关键词

等式;数列;数学;推理;存在;证明;自然数;sn;常数;数列与推理;

如图,直线l的方程是x=-p/2,其中p>0;椭圆的中心为D(2+p/2,0),焦点在x轴上,长半轴长为2,短半轴长为1,它的一个顶点这A(p/2,0).问:p在哪个范围取值时,椭圆上有四个不同的点,它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离?

定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.

设对所有实数x,不等式x2log2 4(a+1)/a+2xlog2 2a/(a+1)+log2 (a+1)2/(4a2)>0恒成立,求a的取值范围.

在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短.

求过点(-1,0)并与曲线y=(x+1)/(x+2)相切的直线方程.

过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1,P2两点.记:线段P1P2的中点这P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:(Ⅰ) C ⊂ A∪B,且C中含有3个元素;(Ⅱ) C∩A≠∅(∅表示空集).

如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A,B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.

已知曲线y=x3-6x2+11x-6. 在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.

已知两点P(-2,2),Q(2,2)以及一条直线l:y=x.设长为的线段AB在直线l上移动.求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)