高中数学-高考试题(全国统考 1989年空间几何体)

问答题（1989年全国统考）

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5,AD=4,AA₁=3,AB⊥AD,∠A₁AB=∠A₁AD=π/3.

(Ⅰ)求证：顶点A₁在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；

(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.

答案解析

(Ⅰ)证明：如图，连接A1 O，则A1 O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1 M,A1 N. 由三垂线定理得A1 M⊥AB,A1 N⊥AD.∵ ∠A1 AM=∠A1 AN∴ Rt△A1 NA≌Rt△A1 MA.∴ A1 M=A1 N.∴ O...

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讨论

高中数学

证明：tan 3x/2 - tan x/2=2sinx/(cosx+cos2x) .

如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A，B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴oo'之间的距离等于______.

已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的______条件；A ̅是B ̅的______条件.

已知(1-2x)7=a0+a1 x+a2 x2+⋯+a7 x7，那么a1 x+a2+⋯+a7=__________.

函数y=(ex-1)/(ex+1)的反函数的定义域是__________.

不等式|x2-3x|>4的解集是____________.

方程sinx-cosx=的解集是____________________.

由数字1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有【】个

已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)【】

如果双曲线x2/64-y2/36=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是【】

立体几何

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, △ABC 是底面的内接正三角形, P 为 DO 上一点, ∠APC = 90°.(1) 证明: 平面 PAB ⊥ 平面 PAC;(2) 设 DO = , 圆锥的侧面积为π, 求三棱锥 P − ABC 的体积.

如图是一个多面体的三视图, 这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M, 在俯视图中对应的点为 N, 则该端点在侧视图中对应的点为【】

如图为某几何体的三视图, 则该几何体的表面积是【】

已知圆锥的底面半径为 1, 母线长为 3, 则该圆锥内半径最大的球的体积为______.

某三棱柱的底面为正三角形, 其三视图如图所示, 该三棱柱的表面积为【】

在棱长为 10 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, P 为左侧面 ADD1A1 上一点, 已知点 P 到 A1D1 的距离为 3, 点 P 到 AA1 的距离为 2, 则过点 P 且与 A1C 平行的直线交正方体于 P、 Q 两点, 则 Q 点所在的平面是【】

某几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则该几何体的体积 (单位: cm3) 是【】

已知圆锥的侧面积 (单位: cm2) 为 2π, 且它的侧面展开图是一个半圆, 则这个圆锥的底面半径 (单位: cm) 为_______.

已知圆锥体的底面半径为R，高为H.求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h(如图).

如果正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，则A′-ABD的体积是【】

空间几何体

如下图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB, 将剩余部分沿OC,OD折叠，使OA,OB重合，则A(B),C,DCO为顶点的四面体的体积是_______.

如图，正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.

向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形状是【】

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF//平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

设正多面体每个顶点连有M条棱，每面都是正N边形，则正整数M和N满足关系：M>2，N>2，MN<2(M+N)，这种正多面体共有【】种。

如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB,EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为【】

设P是一个凸多面体，满足以下两个性质：(i) P的每一个顶点恰属于 3 个不同的面；(ii) 对任意 k ≥3， P 中 k 边形面都恰有偶数个。有一只蚂蚁从某条棱的中点出发，沿棱爬行，走一条闭合路径 L ，经过 L 上每一点恰好一次，最终回到出发点。 L 将 P 的表面分为两部分，使得对任意的 k ≥3，两部分中 k 边形面的个数相等。求证：蚂蚁在爬行中向左转和向右转的次数相等。

设y=xln(1+x2)，求y'.

设直线(l)的参数方程是 (t是参数)椭圆(E)的参数方程是 (θ是参数)问：a,b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线(l)与椭圆(E)总有公共点？

已知y=e-xsin2x，求微分dy.