问答题(1982年全国统考

已知数列a1,a2,⋯an,⋯和数列b1,b2,⋯bn,⋯,其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1 (n≥2)(p,q,r是已知常数,且q≠0,p>r>0).

(1) 用p,q,r,n表示bn,并用数学归纳法加以证明;

(2) 求.

答案解析

(1)∵a1=p,an=pan-1,∴an=pn.又b1=q,b2=qa1+rb1=q(p+r),b_3=qa2+rb2=q(p2+pr+r2), …设想bn=q(pn-1+pn-2 r+⋯+rn-1 )=.用数学归纳法证明:当n=2时,b2=q(p+r)=,等式成立;...

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讨论

嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{bn}:b1=1+ ,b2=1+,b3=1+,…,依此类推,其中αk∈N* (k=1,2,⋯).则【 】

己知数列{an}各项均为正数,其前n项和Sn满足an⋅Sn=9(n=1,2,⋯).给出下列四个结论:①{an}的第2项小于3; ②{an}为等比数列;③{an}为递减数列; ④{an}中存在小于1/100的项.其中所有正确结论的序号是__________.

已知Q:a1,a2,⋯,ak为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的n∈{1,2,⋯,m},在Q中存在ai,ai+1,ai+2,⋯,ai+j (j≥0),使得ai+ai+1+ai+2+⋯+ai+j=n,则称Q为m-连续可表数列.(1)判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列?是否为6-连续可表数列?说明理由;(2)若Q:a1,a2,⋯,ak为8-连续可表数列,求证:k的最小值为4;(3)若Q:a1,a2,⋯,ak为20-连续可表数列,且a1+a2+⋯+ak<20,求证:k≥7.

已知数列{an}满足a1=1,an+1=an-1/3 an2 (n∈N* ),则【 】

(I)设{an}是集合{2t+2s |0≤s<t,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,⋯将数列{an}各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:35 69 10 12⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯(i)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;(ii)求a100.(Ⅱ)(本小题为附加题,如果解答正确,加4分,但全卷总分不超过150分)设{bn}是集合{2t+2s+2r |0≤r<s<t,r,s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,已知bk=1160,求k.

设正数数列{an}满足:a1=1+√2且(an-an+1 )(an+an-1-2√n)=2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求满足[an ]=2022的所有正整数n构成的集合([x]表示不超过x的最大整数).

设正数数列{an },{bn}满足:a1=b1=1,bn=an bn-1-1/4(n≥2).求4+1/(a1 a2⋯ak )的最小值,其中m是给定的正整数.

在各项均为正数,且满足下列条件的数列{an}中,a9可能的最大值和最小值分别为M和m,则M+m的值为【 】(1) a7=40(2)对于任意正整数n,an+2=

数列{an },{bn}满足(3ak+5)=55,(ak+bk)=32,求bk 的值.

有半径为R之圆C,于其直径AB上取其半B1 B为直径作一圆C1,又取B1 B之半B2 B为直径作一圆C2,更取B2 B之半B3 B为直径作一圆C3,如是无限推之,求C1,C2,C3,⋯无穷个圆周之和.