-
关注“优题吧”，分配平台账号.
竞赛2023年丘成桐女子赛( )
计算：
竞赛2021年全国高中数学联赛( )
等差数列{an}满足a2021=a20+a21=1，则a1的值为__________.
1981/4001
解答过程见word版
高考2023年北京市( )
已知数列{an },{bn}的项数均为m(m>2)，且an,bn∈{1,2,⋯,m},{an },{bn}的前n项和分别为An,Bn，并规定A0=B0=0.对于k∈{0,1,2,⋯,m}，定义rk=max{i|Bi≤Ai,i∈{0,1,2,⋯,m}}，其中maxM表示数集M中最大的数.
(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；
(2)若a1≥b1,2rj≤rj+1+rj-1,j=1,2,⋯,m-1，求rn；
(3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2,⋯,m}，满足p>q,s>t，使得Ap+Bt=Aq+Bs.
(1)由题意知：A0=0,A1=2,A2=3,A3=6,B0=0,B1=1,B2=4,B3=7，
当k=0时，B0=A0=0,Bi>A0,i=1,2,3，故r0=0；
当k=1时，B0<A1,B1<A1,B2>A1,B3>A1,故r1=1；
当k=2时，B0<A2,B1<A2,B2>A2,B3>A2，故r2=1；
当k=3时，Bi≤A3,i=0,1,2,B3>A3，故r3=2；
综上所述：r0=0,r1=1,r2=1,r3=2.
(2)由题意知：rn≤m,rn∈N,
∵an≥1,bn≥1，
∴An≥a1=1,Bn≥b1=1，当且仅当n=1时等号成立，
∴r0=0,r1=1.
又∵2ri≤ri-1+ri+1，
∴ri+1-ri≥ri-ri-1，
即rm-rm-1≥rm-1-rm-2≥⋯≥r1-r0=1,
∴ri+1-ri≥1.
反证：假设满足rn+1-rn>1的最小正整数为j,1≤j≤m-1,
则，当i≥j时ri+1-rn≥2，当i≤j-1时ri+1-ri=1,
∴rm=(rm-rm-1 )+(rm-1-rm-2 )+⋯+(r1-r0 )+r0≥2(m-j)+j=2m-j，
又∵1≤j≤m-1，
∴rm≥2m-j≥2m-(m-1)=m+1>m，
假设不成立，故rn+1-rn=1,
即{rn}首页为1，公差为1的等差数列，
∴rn=0+1×n=n,n∈N.
高考2023年北京市( )
我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物林质量的“环权”，已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=______；数列{an}所有项的和为________.
48 384
设前3项的公差为d，后7项的公比为q，
根据题意有：q4=a9/a5 =192/12=16，
∵q>0,
故解得q=2.
∵a3=1+2d=a5/q² =12/4=3,
∴d=1.
∴a7=a3 q4=3×24=24,
a1+a2+⋯+a9
=1+2+3+3×2+⋯+3×26
=3+3×(1-27)/(1-2)
=384.
高考2023年北京市( )
已知数列{an}满足an+1=1/4 (an-6)³+6(n=1,2,3,⋯)，则【 】
A、当a1=3时，{an}为递减数列，且存在常数M≤0，使得an>M恒成立
B、当a1=5时，{an}为递增数列，且存在常数M≤6，使得an<M恒成立
C、当a1=7时，{an}为递减数列，且存在常数M>6，使得an>M恒成立
D、当a1=9时，{an}为递增数列，且存在常数M>0，使得an<M恒成立