高中数学-高考试题(天津市 2024年等比数列)

问答题（2024年天津市）

已知数列{a_n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S_n，且a₁=1,S₂=a₃-1.

(1)求数列{a_n}的前n项和S_n；

(2)设b_n=,b₁=1，其中k是大于1的正整数.

(ⅰ)当n=a_k+1时，求证：b_n-1≥a_k∙b_k；

(ⅱ)求∑_i=1^Snb_i .

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

已知椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为e=1/2，左顶点为A，下顶点为B,C是线段OB的中点，S△ABC=3√3/2.(1)求椭圆的方程；(2)过点(0,-3/2)的动直线与椭圆有两个交点P,Q，在y轴上是否存在点T使得(TP)⋅(TQ)≤0恒成立？若存在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

已知四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,AA1⊥平面ABCD,AD⊥AB，其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1 C1的中点，M是DD1的中点.(1)求证：D1 N∥平面CB1 M；(2)求平面CB1 M与平面BB1 CC1的夹角的余弦值；(3)求点B到平面CB1 M的距离.

在△ABC中，cosB=9/16,b=5,a/c=2/3.(1)求a;(2)求sinA;(3)求cos⁡(B-2A).

若函数f(x)=2√(x²-ax)-|ax-2|+1有唯一零点，则a的取值范围是________.

在边长为1的正方形ABCD中，E为CD的三等分点，CE=1/2 DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ=______；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则AF∙DG的最小值为______.

设有A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A的概率为______；(2)已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为______.

已知(x-1)²+y²=25的圆心与抛物线y²=2px(p>0)的焦点重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为______.

在(3/x³ +x³/3)6的展开式中，常数项为______.

已知i是虚数单位，复数(√5+i)⋅(√5-2i)=________.

一个五面体ABC-DEF，已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，并已知AD=1,BE=2,CF=3，则该五面体的体积为【】

等比数列

已知双曲线C:x²-y²=m(m>0).点P1 (5,4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn (n=2,3,⋯)，过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交点Qn-1，令Pn为Qn-1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn,yn).(1)若k=1/2，求x2,y2.(2)证明：数列{xn-yn}为公比为(1+k)/(1-k)的等比数列.(3)设Sn为△Pn Pn+1 Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n,Sn=Sn+1.

记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=(-1)n nan，求数列{bn}的前n项和Tn.

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{Sn}的通项公式.

等比数列{an}的首项a1>0，公比q>1，记In={x-y│x,y∈[a1,a2 ]∪[an,an+1 ] }，若对任意正整数n,In是闭区间，则q的取值范围是________.

已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=【】

记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5,S6=21S2，则S8=【】

我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物林质量的“环权”，已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=______；数列{an}所有项的和为________.

设 {an} 是等比数列, 且 a1 + a2 + a3 = 1, a2 + a3 + a4 = 2, 则 a6 + a7 + a8 =【】

已知 {an} 是无穷数列. 给出两个性质:① 对于 {an} 中任意两项 ai, aj (i > j), 在 {an} 中都存在一项 am, 使得 =am;② 对于 {an} 中任意一项 an (n ⩾ 3), 在 {an} 中都存在两项 ak, al (k > l), 使得 an = .(I) 若 an = n (n = 1, 2, …), 判断数列 {an} 是否满足性质 ①, 说明理由;(II) 若 an = 2n−1 (n = 1, 2, · · · ), 判断数列 {an} 是否同时满足性质 ① 和性质 ②, 说明理由;(III) 若 {an} 是递增数列, 且同时满足性质 ① 和性质 ②, 证明: {an} 为等比数列.

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85，n∈N*.（Ⅰ）证明：{an - 1} 是等比数列；（Ⅱ）求数列{Sn}的通项公式。请指出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由.

数列

记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5，则S10=________.

用f(n)表示整数n的二进制中数码“1”占所有数码的比例，例如21=(10101)2，则f(21)=3/5.(1)是否存在由21个不超过2024的正整数构成的非常值等差数列a1,a2,⋯,a21，使得f(a1)=f(a2)=⋯=f(a21)？证明你的结论.(2)是否存在无穷多个正整数m，使得f(m²)>7/10？证明你的结论.

记Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S5=S10,a5=1，则a1=【】

等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，则a3+a7=【】

设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都不是常数数列，记集合M={k|ak=bk,k∈N*}，给出下列4个结论：①若{an}与{bn}均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有3个元素；③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是________.

设集合M={(i,j,s,t)|i∈{1,2},j∈{3,4},s∈{5,6},t∈{7,8},2|(i+j+s+t)}.对于给定的有穷序列A:{a_n}(1≤n≤8)，及序列Ω:ω1,ω2,⋯,ωs,ω_k=(i_k,j_k,s_k,t_k )∈M，定义变换T:将数列A的第i1,j1,s1,t1项加1，得到数列T1 (A)；将数列T1 (A)的第i2,j2,s2,t2项加1，得到数列T2 T1 (A),⋯；重复上述操作，得到数列Ts⋯T2 T1 (A)，记为Ω(A).(1)给定数列A:1,3,2,4,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)，写出Q(A)；(2)是否存在序列Ω，使得Ω(A)为a1+2,a2+6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,a7+4,a8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω，若不存在，说明理由；(3)若数列A的各项均为正整数，且a1+a3+a5+a7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω(A)为常数列”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”.

问θ为何种数值时，sinθ+sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ+⋯成一收敛级数.

求证：1³+2³+⋯+n³=1/4 n²(n+1)².

若a1,a2,⋯,an为已知正数，试求atctan(a1-a2)/(1+a1 a2)+atctan(a2-a3)/(1+a2 a3)+⋯+atctan(an-1-an)/(1+an-1 an)的值.

级数1!/102 -2!/103 +3!/104 -⋯是收敛的还是发散的？