高中数学-竞赛试题(东南地区奥林匹克 2024年等差数列)

证明题（2024年东南地区奥林匹克）

用f(n)表示整数n的二进制中数码“1”占所有数码的比例，例如21=(10101)₂，则f(21)=3/5.

(1)是否存在由21个不超过2024的正整数构成的非常值等差数列a₁,a₂,⋯,a₂₁，使得f(a₁)=f(a₂)=⋯=f(a₂₁)？证明你的结论.

(2)是否存在无穷多个正整数m，使得f(m²)>7/10？证明你的结论.

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

设m,n为正整数且m≤n，证明：≤m/n

设n为正整数.若平面中存在两点A,B及2024个不同的点P1,P2,⋯,P2024满足：线段AB及各条线段APi,BPi (i=1,2,⋯,2024)的长度均为不超过n的正整数，求n的最小值.

如图，在△ABC中，AB>AC,△ABC的内切圆I分别切边BC,CA,AB于点D,E,F.设M为DE的中点，N为DF的中点，直线EF与BC相交于点P，过点P作动直线l交内切圆I于不同的两点G,H,且I,M,G和I,N,H均不共线，△IMG的外接圆与△INH的外接圆交于不同于I的点Q,证明：点Q始终在一个定圆上.

有红、黄、蓝3种不同颜色的帽子各足够多顶.一个游戏团队有n(n≥4)个人,每人都知晓团队的人数为n，帽子的颜色有红、黄、蓝3种可能. 他们围成一圈进行如下游戏：步骤1：AI给每个人分配一顶帽子，每人都看不到自己的帽子，只能看到与自己相邻的两人(即顺时针、逆时针离他最近的人)的帽子；步骤2：所有人同时猜自己的帽子颜色，只要有一个人猜对，就视作游戏团队获胜;若所有人都猜错，则AI获胜.游戏团队可在步骤1之前约定猜帽子颜色的策略.(1) n=4时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论；(2) n=9999时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论.

求最大的正整数n，使得平面上存在n个点P1,P2,⋯,Pn(任意三点不共线)和不过其中任意点的n条直线l1,l2,⋯,ln(任意三线不共点)，满足对任意i≠j，直线Pi Pj,li,lj三线共点.

在平面直角坐标系xOy中，椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>1)的右焦点为F(c,0)，若存在经过焦点F的一条直线l交椭圆于A,B两点，使得OA⊥OB.求椭圆的离心率e=c/a的取值范围.

设a,b,c,d∈(0,1)，满足a²+b²+c²+d²=3，证明：(1-a²)/(b+c)+(1-b²)/(c+d)+(1-c²)/(d+a)+(1-d²)/(a+b)<2/3.

证明：存在有理数集Q的无限子集A和B，同时满足以下三个条件：(ⅰ) A∪B=Q,A∩B=∅；(ⅱ) ∀x,y∈A⟹xy∈B,∀x,y∈B⟹xy∈B；(ⅲ) ∀n∈Z,(n,n+1)∩A≠∅,(n,n+1)∩B≠∅.

一项考试的可能得分为0,1,2,⋯,150，有100名考生P1,P2,⋯,P100，考完后依顺时针围成一圈交流成绩，记Pi的成绩为ai.每个考生Pi比较自己与相邻两人Pi-1,Pi+1（下标按模100理解）的得分，定义Pi的激励值fi为：fi=记S=f1+f2+⋯+f100.(1)求S的最大值；(2)求使得f1,f2,⋯,f100两两不相等的S的最大值.

设a正整数，fa (x)=x4+ax²+1.定义集合Pa={p|p为素数，且存在正整数k使得fa (2k)是p的倍数}(1)证明：对任意正整数a,Pa为无限集；(2)若Pa的任意两个元素之差是8的倍数，求正整数a的最小值.

等差数列

记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5，则S10=________.

已知等差数列{an}的首项a1=-1，公差d>1．记{an}的前n项和为Sn(n∈N* )．（1）若S4-2a2 a3+6=0，求Sn；（2）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．

已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5=0，则Si (i=0,1,2,…,100)中不同的数值有________个。

已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列，则|m-n|=【】

设{an}是等差数列；{bn}是等比数列；a1=b1=a2-b2=a3-b3=1.(1)求{an}与{bn }的通项公式；(2)设{an}的前n项和为Sn，求证：(Sn+1+an+1 ) bn=Sn+1 bn+1-Sn bn；(3)求∑k=12n(ak+1-(-1)k ak ) bk .

等差数列{an}的各项均为正数，首项与公差相等，=2，则a4的值为【】

若方程x4-4x3-34x2+ax+b=0之根成等差级数，求a,b及四根.

设等差数列{an}的公差为d，且d>1，令bn=(n²+n)/an ，记Sn,Tn分别为数列{an },{bn}的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99-T99=99，求d.

等差数列{an}满足a2021=a20+a21=1，则a1的值为__________.

已知等差数列{an}的公差d>0，首项an>0,Sn=1/(aiai+1)，则Sn =________。

数列

Find the sum of n terms of the series whose nth term is 3(4n+4n²)-5n³.

Find the general term and the sum ofn terms of the series -3,-1,11,39,89,167.

Find the sum of the geometical series -2,,-1/3 to 6 terms.

设数列{an}的前n项和为Sn.则a2,a3,a4,⋯为等比数列.(1) Sn+1>Sn,n=1,2,3,⋯(2) {Sn}是等比数列.

求证 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

求级数1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+⋯ n项及无穷项之和.其第n项为1/(2n-1)(2n+1).

有相交之二直线 a 及 b，自 a 上之一点作 b 之垂线，复自其在 b 上之垂足向 a作垂线，更自第二个垂足作 b 之垂线，如此继续作成无数根垂线，设第一垂线之长为 7，第二垂线之长为 6，求此无数垂线长之和.

设a,b,c三数成调和级数，试证1/a+1/c+1/(a-b)+1/(c-b)=0.

问级数1-x/√1+x²/√2-x³/√3+⋯何时收敛？

以三角形各边为直径作圆，试证任意两边上二圆公切线之长为第三边被内切圆切点所分两部分之比例中项.