高中数学-竞赛试题(东南地区奥林匹克 2024年命题及其关系)

问答题（2024年东南地区奥林匹克）

有红、黄、蓝3种不同颜色的帽子各足够多顶.一个游戏团队有n(n≥4)个人,每人都知晓团队的人数为n，帽子的颜色有红、黄、蓝3种可能. 他们围成一圈进行如下游戏：

步骤1：AI给每个人分配一顶帽子，每人都看不到自己的帽子，只能看到与自己相邻的两人(即顺时针、逆时针离他最近的人)的帽子；

步骤2：所有人同时猜自己的帽子颜色，只要有一个人猜对，就视作游戏团队获胜;若所有人都猜错，则AI获胜.

游戏团队可在步骤1之前约定猜帽子颜色的策略.

(1) n=4时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论；

(2) n=9999时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论.

答案解析

解答过程见word版

讨论

高中数学

求最大的正整数n，使得平面上存在n个点P1,P2,⋯,Pn(任意三点不共线)和不过其中任意点的n条直线l1,l2,⋯,ln(任意三线不共点)，满足对任意i≠j，直线Pi Pj,li,lj三线共点.

在平面直角坐标系xOy中，椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>1)的右焦点为F(c,0)，若存在经过焦点F的一条直线l交椭圆于A,B两点，使得OA⊥OB.求椭圆的离心率e=c/a的取值范围.

设a,b,c,d∈(0,1)，满足a²+b²+c²+d²=3，证明：(1-a²)/(b+c)+(1-b²)/(c+d)+(1-c²)/(d+a)+(1-d²)/(a+b)<2/3.

证明：存在有理数集Q的无限子集A和B，同时满足以下三个条件：(ⅰ) A∪B=Q,A∩B=∅；(ⅱ) ∀x,y∈A⟹xy∈B,∀x,y∈B⟹xy∈B；(ⅲ) ∀n∈Z,(n,n+1)∩A≠∅,(n,n+1)∩B≠∅.

一项考试的可能得分为0,1,2,⋯,150，有100名考生P1,P2,⋯,P100，考完后依顺时针围成一圈交流成绩，记Pi的成绩为ai.每个考生Pi比较自己与相邻两人Pi-1,Pi+1（下标按模100理解）的得分，定义Pi的激励值fi为：fi=记S=f1+f2+⋯+f100.(1)求S的最大值；(2)求使得f1,f2,⋯,f100两两不相等的S的最大值.

设a正整数，fa (x)=x4+ax²+1.定义集合Pa={p|p为素数，且存在正整数k使得fa (2k)是p的倍数}(1)证明：对任意正整数a,Pa为无限集；(2)若Pa的任意两个元素之差是8的倍数，求正整数a的最小值.

求方程(√3+2sin2x)/(√3+2sinx)=√3 sinx+cos2x/2cosx在(0,π/2)内的解.

在锐角三角形△ABC中，AB>AC,O为外心. 设D为BC上一点，O1,O2分别为△ABD,△ACD的外心，△AO1O2的外接圆与⨀O交于不同于A的点L.证明：A,O,D三点共线当且仅当AL//BC.

已知函数f(x)=ex-ax-a3.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.

在n×n的方格表中，若两个方格有公共边，则称它们是相邻的.若l个互异方格A1,A2,⋯,A_l满足Ai和Ai+1相邻（1≤i≤l-1），则称它们为一条长度为l的“龙”.求最大正整数k，使得可以给每个方格填上0或者1，并且对任意一个方格A，和以A中数字为首项的0,1序列m1,m2,⋯,mk，都存在从A开始的长度为k的龙，方格中的数字依次是m1,m2,⋯,mk.

命题及其关系

已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1；命题q:∃x>0,x³=x，则【】

已知命题p:∃x∈R,sinx<1，命题q:∀x∈R,e|x| ≥1，则下列命题中为真命题的是【】

设整数n≥100.伊凡把n,n+1,…,2n的每个数写在不同的卡片上.然后他将这n+1张卡片打乱顺序并分成两堆.证明：至少有一堆中包含两张卡片，使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数.

爱因斯坦思想深刻、思维创新。他不仅是一位伟大的科学家，还是一位思想家和人道主义者，同时也是一位充满个性的有趣人物。他一生的经历表明，只有拥有诙谐幽默、充满个性的独立人格，才能做到思想深刻、思维创新。根据以上陈述，可以得出以下哪项?

处理餐厨垃圾的传统方式主要是厌氧发酵和填埋，前者利用垃圾产生的沼气发电，投资成本高;后者不仅浪费土地，还污染环境。近日，某公司尝试利用蟑螂来处理垃圾。该公司饲养了3亿只“美洲大”蟑螂，每天可吃掉 15 吨餐厨垃圾。有专家据此认为，用“蟑螂吃掉垃圾”这一生物处理方式解决餐厨垃圾，既经济又环保。以下哪项如果为真，最能质疑上述专家的观点?

记者：贵校是如何培养创新型人才的?受访者：大学生踊跃创新创业是我校的一个品牌。在相关课程学习中，我们注重激发学生创业的积极性，引导学生想创业；通过实训、体验，让学生能创业；通过学校提供专业化的服务，帮助学生创成业。在高校创业者收益榜中，我们学校名列榜首。以下哪项最可能是上述对话中受访者论述的假设?

某研究所甲、乙、丙、丁、戊5人拟定去我国四大佛教名山，普陀山、九华山、五台山、峨眉山考察。他们每人去了上述两座名山，其每座名山均有其中 2-3 人前往，丙、丁结伴考察。已知：(1)如果甲去五台山，则乙和丁都去五台山。(2)如果甲去峨眉山，则丙和戊都去峨眉山。(3)如果甲去九华山，则戊去九华山和普陀山。如果乙去普陀山和九华山，5 人去四大名山按题干排序) 的人次之比是【】

水在温度高于 374°C，压力大于 22mpa 的条件下，称为超临界水，超临界水能与有机物完全互溶，同时还可以大量溶解空气中的氧，而无机物特别是盐类在超临界水中的溶解度则很低。因此,研究人员认为，利用超临界水作为特殊溶剂，水中的有机物和氧气可以在短时间内完成氧化反应把有机物彻底“秒杀”。以下哪项如果为真，最能支持上述研究人员观点?

小陈和几位朋友利用假期到外地旅游，他们在桃花坞、第一山、古生物博物馆、新四军军部旧址、琉璃泉、望江阁6个景点中选择了 4个游览，已知:(1)如果选择桃花坞，则不选择古生物博物馆而选择望江阁;(2)如果选择望江阁，则不选择第一山而选择新四军军部旧址。根据以上信息，可以得出以下哪项?

张先生花5万元购买橱柜、卫浴和供暖设备。已知:(1)如果买橱柜，就不买卫浴，也不买供暖设备(2)如果不买橱柜，就买卫浴(3)如果卫浴、橱柜至少有一种不买，则买供暖设备根据以上陈述，关于张先生的购买打算可以得出哪项?

逻辑与证明

等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则【】

设函数f(x)的定义域为[0,1].则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的【】

已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的【】

已知非零向量,,，则“∙=∙”是“=”的【】

设f(x)=x3+log2⁡(x+)，对任意实数a,b,a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的【】.

给定整数n≥2，设M0 (x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.

设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯，M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明：M=[-2,1/4].

设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的【】

设x∈R，则“sin⁡x=1”是“cos⁡x=0”的【】

Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x. 译文：给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明：至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周，且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .