高中数学-竞赛试题(全国高中数学联赛 2006年数学归纳法)

证明题（2006年全国高中数学联赛）

给定整数n≥2，设M₀ (x₀,y₀)是抛物线y²=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x₀^m,y₀^m)为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点.

答案解析

联立⟹x02-nx0+1=0⟹x0+1/x0 =n.则 x02+1/(x02 )=(x0+1/x0 )2=n2-2;x03+1/(x03 )=(x0+1/x0 )(x02+1/(x02 )-1)=n3-3n;当m≥3时，x0m+1/x0m =(x...

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讨论

抛物线

设抛物线的顶点为 O, 焦点为 F , 准线为 l. P 是抛物线上异于 O 的一点, 过 P 作 PQ ⊥ l 于 Q, 则线段 FQ 的垂直平分线【】

如图, 已知椭圆 C1: x2/2+y2=1, 抛物线 C2: y2=2px (p > 0), 点 A 是椭圆 C1 与抛物线 C2 的交点, 过点 A的直线 l 交椭圆 C1 于点 B, 交抛物线 C2 于 M (B, M 不同于 A).(I) 若 p=1/16 , 求抛物线 C2 的焦点坐标;(II) 若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点, 求 p 的最大值.

已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)(1) m是什么数值时，y的极值是0？(2) 求证：不论m是什么数值，函数图像（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1,0,1时抛物线的草图，来检验这个结论.(3) 平行于l1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于l1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x上运动.问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P(x0,y0)是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是p/y0 ）

抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与抛物线x2=2qy相切.

求曲线y2=-16x+64的焦点.

过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1,P2两点.记：线段P1P2的中点这P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2；l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

在抛物线y=4x2上求一点，使该点到直线y=4x-5的距离最短.

如图，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2. (1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点，斜率为2的直线l与MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N，且|RN|2=|PN|∙|QN|，求直线l在x轴上截距的范围.

已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【】。

逻辑与证明

a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的【】

等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则【】

设函数f(x)的定义域为[0,1].则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的【】

已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的【】

已知非零向量,,，则“∙=∙”是“=”的【】

设 a ∈ R, 则“a > 1”是“a2 > a”的【】

命题 p : 存在 a≠ 0, 对于任意的 x, 使 f(x + a) < f(x) + f(a); 命题 q1 : f(x) 为单调递减函数且 f(x) > 0恒成立; 命题 q2 : f(x) 为单调递增函数且存在 x0 < 0, 使 f(x0) = 0. 则下列说法正确的是【】

已知空间中不过同一点的三条直线 l, m, n, 则“l, m, n 在同一个平面”是“l, m, n 两两相交”的【】

A：四边形ABCD为平行四边形.B：四边形ABCD为矩形.则A是B的________条件.

A：a=3；B：|a|=3，则A是B的__________条件.

数学归纳法

设a>2，给定数列{xn},其中x1 = a,xn+1=(xn2)/(2(xn-1)) (n=1,2,…),求证：(1) xn>2,且xn+1/xn < 1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么xn ≤ 2+1/2n-1 (n=1,2,…);(3) 如果a>3,那么当n ≥ (lga/3)/(lg4/3)时，必有xn+1<3.

设f(x)=lg (1+2x+⋯+(n-1)x+nx a)/n,其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围；(Ⅱ)如果a∈(0,1]，证明：2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x. 译文：给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明：至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周，且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .

用数学归纳法证明下列恒等式 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

用数学归纳法求下列级数1/(1×2)+1/(2×3 )+1/(3×4)+⋯至n项之和.

设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯，M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明：M=[-2,1/4].

在直棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=π/2,AB=AC=AA1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的不动点（不包括端点）.若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为【】

已知集合所以A={x│5x-a≤0},B={x│6x-b>0},a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为【】.

数码a1,a2,a3,⋯,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为【】.

等差数列{an}满足a2021=a20+a21=1，则a1的值为__________.