证明题(2006年全国高中数学联赛

给定整数n≥2,设M0 (x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m,必存在整数k≥2,使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.

答案解析

联立⟹x02-nx0+1=0⟹x0+1/x0 =n.则 x02+1/(x02 )=(x0+1/x0 )2=n2-2;x03+1/(x03 )=(x0+1/x0 )(x02+1/(x02 )-1)=n3-3n;当m≥3时,x0m+1/x0m =(x...

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讨论

设a>2,给定数列{xn},其中x1 = a,xn+1=(xn2)/(2(xn-1)) (n=1,2,…),求证:(1) xn>2,且xn+1/xn < 1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么xn ≤ 2+1/2n-1 (n=1,2,…);(3) 如果a>3,那么当n ≥ (lga/3)/(lg4/3)时,必有xn+1<3.

设f(x)=lg (1+2x+⋯+(n-1)x+nx a)/n,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明:2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

用数学归纳法证明下列恒等式 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

设f(x)=x2+a,记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯,M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明:M=[-2,1/4].

Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x. 译文:给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明:至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周,且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .

用数学归纳法求下列级数1/(1×2)+1/(2×3 )+1/(3×4)+⋯至n项之和.

在直棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=π/2,AB=AC=AA1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的不动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为【 】

已知集合所以A={x│5x-a≤0},B={x│6x-b>0},a,b∈N,且A∩B∩N={2,3,4},则整数对(a,b)的个数为【 】.

数码a1,a2,a3,⋯,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为【 】.

若对一切θ∈R,复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数a的取值范围为__________________.