高中数学-高考试题(全国统考 1986年抛物线)

问答题（1986年全国统考）

过点M(-1,0)的直线l₁与抛物线y²=4x交于P₁,P₂两点.记：线段P₁P₂的中点这P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l₂；l₁的斜率为k.试把直线l₂的斜率与直线l₁的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

答案解析

由已知条件可知，直线l1的方程是y=k(x+1), ①把①代入抛物线方程y2=4x，整理后得到k2 x2+(2k2-4)x+k2=0, ②因此，直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是：(2k2-4)2-4k2∙k2>0, ③及k≠0. ④解③与④得k∈(-1,0)∪(0,1).现在设P的坐标为(x ̅,y ̅),则直线l1的斜率为k=y ̅/(x ̅+1),直线l2的斜率为k2=y ̅/(x ̅-1),记直线l1的斜率为f(...

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讨论

抛物线

若相相之二抛物线具有相同之顶点，且其主轴互相垂直，试证其公切线必与二抛物线各切于其通径之一端.

设 F 是抛物线的焦点，在抛物线上任取一点 P 与焦点连接，由 P 作 PQ平于主轴，试证 P 点的法线平分 ∠FPQ.

在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,1/2)的距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3√3.

设O为坐标原点，直线y=-√3(x-1)过抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，l为C的准线，则【】

已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p=【】。

设 O 为坐标原点, 直线 x = 2 与抛物线 C : y2 = 2px (p > 0) 交于 D, E 两点, 若 OD ⊥ OE, 则 C 的焦点坐标为【】

斜率为的直线过抛物线 C : y2 = 4x 的焦点, 且与 C 交于 A, B 两点, 则 |AB| =______.

设抛物线的顶点为 O, 焦点为 F , 准线为 l. P 是抛物线上异于 O 的一点, 过 P 作 PQ ⊥ l 于 Q, 则线段 FQ 的垂直平分线【】

若动点P到F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为___________.

求曲线y2=-16x+64的焦点.

圆锥曲线

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).

设于椭圆上之 M(acosΦ,bsinΦ) 点，引与圆心 O之联线 OM，再由 M 点引正交于椭圆长轴之线 MP，复由 P引与 OM 正交之线 PQ.(1).求当 M 点沿圆线移动时 Q 点之轨迹.(2).讨论此轨迹之形状，并绘图以明之.

证明自椭圆二焦点至其任意切线之垂直距离，其乘积为一常数.

试求椭圆中诸平行弦之中点轨迹的方程式.

Find the locus of point which moves so that the sum of its distance from the points (-7, 4) and (9, 4) is always 20 units. Determine the center, foci, vertices,axis and eccentricity. Locate all points.

以(2,1)为焦点，直线3x-4y-5=0为准线，1/2为离心率的椭圆方程，求此椭圆主轴的长.

判别曲线=0的性质.

从一抛物线之焦点引各切线之垂线，试求其垂足之轨迹.

双曲线上一点与其两渐近线之阿离如何？并证此两距离相乘之积为常数.

椭圆9x²+y²=9与直线4x+y+5=0是否相切? 并说明其理由.

平面解析几何

在∆ABC中，a=√6,b=2c,cosC=-1/4.(1)求∠C的大小；(2)求sinB的值；(3)求sin⁡(2A-B)的值.

函数f(x)=a-√3tan2x在闭区间[-π/6,b]上的最大值为7，最小值为3，则a×b的值为【】

英：Show how to describe a triangle having given its angles and its perimeter.汉：己知三角形三角及周长，解此三角形.

英：Find the equation to the straight line which passes through the points(2,5)and (0,-7).汉：求过(2,5)和(0,-7)两点的直线方程.

A,B,C are the angles of a triangle, prove that tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

A boy standing cft. behind and opposite the middle of a foothall goal sees that the angle of elevation of the nearer is A and the angle of elevation of the farther one is B. Show that the length of the field is c(tanAcotB-1).

关于直交轴有三直线: x=0,y=0,x/a+y/b=1.求与此三直线相切之圆之方程式.

求二直线y=m1x+c1,y=m2x+c2及y轴所包围之三角形之面积.

有ABC三角形，已知B=15°,b=√3-1,c=√3+1，试求其余各项.

于正东正南甲乙二地，测得某山之仰角为 45°及 30°，今甲乙两地之距离为2400 尺，求山高.