高中数学-高考试题(北京大学 1949年圆与方程)

问答题（1949年北京大学）

一动圆与 (x - 2)² +y² =1及 Y 轴皆相切，求动圆圆心之轨迹方程.

答案解析

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讨论

高中数学

天津大学行列式

析(3x²+x-2)/(x-2)²(1-2x)为部分分式.

求圆锥曲线 x² +y² = 49 及 x² +y² - 20y +90 =0之公切线的长.

求圆锥曲线 2x²-8xy - 4y² - 4y +1=0 之焦点及准线.

某人在高处望见正东海面上一船首，其俯角为 30°，当船向正南行 a 里后，求得船首俯角为 15°，问此人之视点高出海面若干?

设一四面体有一三面角与另一四面体的一三面角对称，求证：其体积之比等于此两三面角三棱分别的乘积之比.

Find the locus of point which moves so that the sum of its distance from the points (-7, 4) and (9, 4) is always 20 units. Determine the center, foci, vertices,axis and eccentricity. Locate all points.

Show that the tangents to the parabola y² = 4px at the extremities of the latus return are perpendicular and meet at the intersection of the directrix with a-axis.

Show that the tangent to a hyperbola makes equal angles with the focal radii drawn to the point of tangency.

Find the distance from the point (-1, -4) to the straight line which is drawn through (-2,6) and the perpendicular to the line joining (3,6) and (-5,-1).

平面解析几何

于双曲线4/3 (x-2)2-(y+1)2=1中,已知其一直径之斜度为1/3，试求此直径及其共轭直径之方程式，若以此二共轭直径为新坐标轴,试求双曲线之新方程式.

试求经过二曲线 x²+2y² - 4x - 2y -6 =0及y² +xy-8 =0之交点且与x轴相切之圆锥曲线方程式.

设 P 为圆上之任意点，且 F 为一焦点，证明以 FP 及椭圆之长轴各为直径之圆必相内切.

设于椭圆上之 M(acosΦ,bsinΦ) 点，引与圆心 O之联线 OM，再由 M 点引正交于椭圆长轴之线 MP，复由 P引与 OM 正交之线 PQ.(1).求当 M 点沿圆线移动时 Q 点之轨迹.(2).讨论此轨迹之形状，并绘图以明之.

于 A,B,C 三阵地测得敌机之仰角为 60°,45°,45°，今 B 地在 A 地正北 3000尺，C 地在 A 地之正西 4000 尺，求敌机之高，并讨论之.

证明自椭圆二焦点至其任意切线之垂直距离，其乘积为一常数.

试求椭圆中诸平行弦之中点轨迹的方程式.

已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为√2，则C的方程为____________.

已知 ⊙M : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0，直线 l : 2x + y + 2 = 0, P 为 l 上的动点. 过点 P 作 ⊙M 的切线PA, PB, 切点为 A, B, 当 |PM| · |AB| 最小时, 直线 AB 的方程为【】

已知 A, B 分别为椭圆 E : +y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点.

圆与方程

已知圆 x2 + y2 −6x = 0, 过点 (1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为【】

若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离为【】

已知半径为 1 的圆经过点 (3, 4), 则其圆心到原点的距离的最小值为【】

已知直线 x − y + 8 = 0 和圆 x2 + y2 = r2 (r > 0) 相交于 A, B 两点. 若 |AB| = 6, 则 r 的值为______.

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 P(/2,0), A、 B 是圆 C : x2+(y-1/2)2=36上的两个动点, 满足 P A = P B, 则 △P AB 面积的最大值是______.

如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么【】。

在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且c=10, cosA/cosB=b/a=4/3, P为△ABC的内切圆上的动点.求点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值与最小值.

圆C：x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=04的距离d=_____.

如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于y=x对称，那么必有【】

设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2，直线l的方程为x+y-3=0，点P的坐标为(2,1)，那么【】