高中数学-高考试题(全国统考 1990年数学归纳法)

问答题（1990年全国统考）

设f(x)=lg (1+2^x+⋯+(n-1)^x+n^x a)/n,其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2.

(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围；

(Ⅱ)如果a∈(0,1]，证明：2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

答案解析

(Ⅰ)f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+⋯+(n-1)x+nx a>0,x∈(-∞,1],n≥2,即a>-[(1/n)x+(2/n)x+⋯+((n-1)/n)x],x∈(-∞,1] ①因为(k/n)x(k=1,2,…,n-1)在(-∞,1]上都是增函数，所以-[(1/n)x+(2/n)x+⋯+((n-1)/n)x]在(-∞,1]也是增函数，从而它在x=1时取得最大值-(1/n+2/n+⋯+(n-1)/n)==-1/2(n-1).因此，①式等价于a>-1/2(n-1).也就是a的取值范围为{a|a>-1/2(n-1)}.(Ⅱ)2f(x)<f(2x) a∈(0,1],x≠0,即[1+2x+⋯+(n-1)x+nx a]2<n[1+22x+⋯+(n-1)2x+n2x a] a∈(0,1],x≠0 ②用数学归纳法证明②式.(i) 先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2∙2x+22x a2≤2(1+22x a2 )<2(1+22x a).假如a=1,x≠0，因为1≠2x，所以(1+2x)2=1+2∙2x+22x<2(1+2...

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讨论

高中数学

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=/2，已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

设a≥0，在复数集C中解方程z2+2|z|=a.

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC，且分别交AC,SC于D,E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3,求tan⁡(α+β)的值.

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分，那么V1:V2=__________.

函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是______.

已知{an}是公差不为零的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，那么⁡(nan)/Sn )等于______.

(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数等于______.

双曲线y2/16 - x2/9=1的准线方程是__________.

逻辑与证明

设a>2，给定数列{xn},其中x1 = a,xn+1=(xn2)/(2(xn-1)) (n=1,2,…),求证：(1) xn>2,且xn+1/xn < 1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么xn ≤ 2+1/2n-1 (n=1,2,…);(3) 如果a>3,那么当n ≥ (lga/3)/(lg4/3)时，必有xn+1<3.

用数学归纳法证明下列恒等式 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

“x=2kπ+π/4（k∈Z）”是“tanx=1 ”成立的【】

已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的【】

设x∈R，则“sin⁡x=1”是“cos⁡x=0”的【】

Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x. 译文：给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明：至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周，且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .

有体育、美术、音乐、舞蹈4个兴趣班，每名同学至少参加 2个.则至少有 12 名同学参加的兴趣班完全相同【】(1)参加兴趣班的同学共有 125人.(2)参加2个兴趣班的同学有 70人.

关于x的方程x²-px+q=0有两个实根a,b，则p-q>1【】(1) a>1. (2) b<1.

已知等比数列{an}的公比大于1，则{an}单调上升【】(1) a1是方程 x2-x-2=0的根(2) a1是方程x2+x-6=0的根

设x,y是实数，则有最小值和最大值【】(1) (x-1)2+(y-1)2=1 (2) y=x+1

数学归纳法

用数学归纳法求下列级数1/(1×2)+1/(2×3 )+1/(3×4)+⋯至n项之和.

设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯，M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明：M=[-2,1/4].

给定整数n≥2，设M0 (x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.

已知y=e-xsin2x，求微分dy.

画出极坐标方程(ρ-2)(θ-π/4)=0(ρ>0)的曲线.

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.

给出20个数87 91 94 88 93 91 89 87 92 8690 92 88 90 91 86 89 92 95 88它们的和是【】

求y=xarctanx2的导数.

设S,T是两个非空集合，且S⊈T,T⊈S，令X=S∩T,那么S∪X=【】

求极限(1-1/2x)x.