高中数学-高考试题(全国统考 1981年充要条件)

填空题（1981年全国统考）

A：四边形ABCD为平行四边形.

B：四边形ABCD为矩形.

则A是B的________条件.

答案解析

必要

讨论

高中数学

在 A , B , C , D 四位候选人中：1．如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．2．如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．

设 A 表示有理数的集合, B 表示无理数的集合，即设 A =｛有理数｝ , B ={无理数｝，试写出：1. A∪B ; 2 . A∩B .

设直线(l)的参数方程是 (t是参数)椭圆(E)的参数方程是 (θ是参数)问：a,b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线(l)与椭圆(E)总有公共点？

抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x上运动.问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P(x0,y0)是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是p/y0 ）

已知0<α<π.证明：2sin2α≤cot(α/2)；并讨论α为何值时等号成立.

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ADC,△CBD,△ABC的面积成等比数列，求∠B(用反三角函数表示).

设三角函数f(x)=sin⁡(kx/5+π/3)，其中k≠0.(Ⅰ) 写出f(x)的极大值M 、极小值 m 与最小正周期T; (Ⅱ) 试求最小的正整数k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是 M 与一个值是 m .

直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A ．从P看地平面上一物体 B （不同于 A ) ，直线P B 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N（如图）．证明：平面 N 必与平面 M 相交，且交线 l 垂直于 AB.

证明对数换底公式：logbN=logaN/logab.(a,b,N都是正数，a≠1,b≠1)

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

逻辑与证明

给定整数n≥2，设M0 (x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.

设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯，M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明：M=[-2,1/4].

Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x. 译文：给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明：至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周，且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .

某部门抽检了肉制品、白酒、乳制品、干果、蔬菜、水产品、饮料等7类商品共 521 种样品，发现其中合格样品515种，不合格样品6种。已知：(1)蔬菜、白酒中有2种不合格样品；(2)肉制品、白酒、蔬菜、水产品中有 5 种不合格样品；(3)蔬菜、乳制品、千果中有3 种不合格样品。根据上述信息，可以得出以下哪项?

时时刻刻总在追求幸福的人不一定能获得最大的幸福，刘某说自己获得了最大的幸福，所以，刘某从来不曾追求幸福。以下哪项与上述论证方式最为相似?

某中学举行田径运动会，高二(3)班甲、乙、丙、丁、戊、己6 人报名参赛。在跳远、跳高和铅球3项比赛中，他们每人都报名1~2项，其中2人报名跳远，3 人报名跳高，3人报名铅球。另外，还知道：(1)如果甲、乙至少有1人报名铅球，则丙也报名铅球：(2)如果己报名跳高，则乙和已均报名跳远；(3)如果丙、戊至少有1人报名铅球，则已报名跳高。根据以上信息，可以得出以下哪项?

某中学举行田径运动会，高二(3)班甲、乙、丙、丁、戊、己6 人报名参赛。在跳远、跳高和铅球3项比赛中，他们每人都报名1~2项，其中2人报名跳远，3 人报名跳高，3人报名铅球。另外，还知道：(1)如果甲、乙至少有1人报名铅球，则丙也报名铅球：(2)如果己报名跳高，则乙和已均报名跳远；(3)如果丙、戊至少有1人报名铅球，则已报名跳高。如果甲、乙均报名跳高，则可以得出以下哪项?

进入移动互联网时代，扫码点餐、在线排号、网购车票、电子支付等智能化生活方式日益普及，人们的生活越来越便捷。然而，也有很多老年人因为不会使用智能手机等设备，无法进入菜场、超市和公园，也无法上网娱乐与购物，甚至在新冠疫情期间因无法从手机中调出健康码而被拒绝乘坐公共交通。对此，某专家指出，社会正在飞速发展，不可能“慢”下来等老年人；老年人应该加强学习，跟上时代发展。以下哪项如果为真，最能质疑该专家的观点?

某单位采购了一批图书，包括科学和人文两大类。具体情况如下：(1)哲学类图书都是英文版的：(2)部分文学类图书不是英文版的：(3)历史类图书都是中文版的;(4)没有一本书是中英双语版的;(5)科学类图书既有中文版的，也有英文版的;(6)人文类图书既有哲学类的，也有文学类的，还有历史类的。根据以上信息，关于该单位采购的这批图书，可以得出以下哪项?

曾几何时，“免费服务”是互联网的重要特征之一，如今这一情况正在发生改变，有些人在网上开辟知识付费平台，让寻求知识和学习知识的读者为阅读“买单”，这改变了人们通过互联网免费阅读的习惯。近年来，互联网知识付费市场的规模正以连年翻番的速度增长，但是有专家指出，知识付费市场的发展不可能长久，因为人们大多不愿为网络阅读付费。以下哪项如果为真，最能质疑上述专家观点?

充要条件

已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的【】

已知非零向量,,，则“∙=∙”是“=”的【】

设f(x)=x3+log2⁡(x+)，对任意实数a,b,a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的【】.

设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的【】

设x∈R，则“sin⁡x=1”是“cos⁡x=0”的【】

“x为整数”是“2x+1”为整数的【】条件.

有体育、美术、音乐、舞蹈4个兴趣班，每名同学至少参加 2个.则至少有 12 名同学参加的兴趣班完全相同【】(1)参加兴趣班的同学共有 125人.(2)参加2个兴趣班的同学有 70人.

关于x的方程x²-px+q=0有两个实根a,b，则p-q>1【】(1) a>1. (2) b<1.

已知等比数列{an}的公比大于1，则{an}单调上升【】(1) a1是方程 x2-x-2=0的根(2) a1是方程x2+x-6=0的根

设x,y是实数，则有最小值和最大值【】(1) (x-1)2+(y-1)2=1 (2) y=x+1