高中数学-高考试题(全国统考 1980年三角函数及性质)

问答题（1980年全国统考）

设三角函数f(x)=sin⁡(kx/5+π/3)，其中k≠0.

(Ⅰ) 写出f(x)的极大值M 、极小值 m 与最小正周期T;

(Ⅱ) 试求最小的正整数k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是 M 与一个值是 m .

答案解析

(Ⅰ) M=1,m=-1,T=(5×2π)/(|k|)=10π/(|k|).(Ⅱ) f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是 m.而任意两个整数间的距离都大于等于1.因此要使任意两个整...

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讨论

高中数学

直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A ．从P看地平面上一物体 B （不同于 A ) ，直线P B 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N（如图）．证明：平面 N 必与平面 M 相交，且交线 l 垂直于 AB.

证明对数换底公式：logbN=logaN/logab.(a,b,N都是正数，a≠1,b≠1)

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

半径为 1 , 2 , 3 的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．

将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式：1. 有理数范围； 2. 实数范围；3. 复数范围．

设等腰△OAB的顶角为 2θ，高为h.(1) 在△OAB内有一动点P，到三边OA,OB,AB的距离分别为|PD|,|PF|,|PE|，并且满足关系式|PD|∙|PF|=|PE|2，求P点的轨迹.(2) 在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|.

试问数列：lg100,lg⁡(100sinπ/4),lg⁡(100sin2π/4),⋯,lg⁡(100sinn-1π/4)，前多少项的和的值最大？并求出这大值（这里取lg2=0.301）

设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A ，与 CF 的延长线相交于点 B . 求证：BF/AE=BC3/AC3 .

美国的物价从 1939 年的 100 增到四十年后 1979年的 500 ，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：自然对数 Inx 是以 e = 2.718 … 为底的对数．本题中增长率 x < 0.1，可用自然对数的近似公式：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3 , In10=2.3 来计算．)

设三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证：ABC是锐角三角形.

三角函数

Solve 1+1+2/(1-tan²⁡x )-(3-tan²⁡x)/(1-3 tan²⁡x )=0

Solve secx - cotx = cscx - tanx

求适合sin2x+cos2x=√2 sinx及0≤x≤2π的角的值.

设三角形的三角为α,β,γ，证sin⁡α/2·sinβ/2·sinγ/2<1/4.

用公式 cos⁡(θ/2)=±时，式中的正负号怎样决定?

解三角方程 sin³θ + cosθ = sinθ + cos³θ.

解反三角方程sin⁡{2arccos⁡(ctg(2arctgx))}=0.

求下列三角方程之一般解：sin7θ-sin3θ=sinθ.

已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点, 则ω的取值范围是__________.

当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=sin⁡(3x-π/6)的交点个数为【】

三角函数及性质

设2sinA=cosA,求sinA及cosA之值.

tan30°=______.

tan45°=______.

tan60°=______.

对于-π/4<β<0<α<π/4，已知sin⁡(α+β)=1/3,cos⁡(α-β)=2/3，则不大于(sinα/cosβ+cosβ/sinα+cosα/sinβ+sinβ/cosα)²的最大整数为______.

求cos40°cos60°cos80°之值.

求证：sin⁡(2nx)/(2nsinx)=cosx∙cos2x∙⋯∙cos⁡(2n-1x )

设x,y,θ皆为实数，x²+y²=1，则必有|xcosθ+ysinθ|≤1.

求 cos20°cos40°cos80°的值.

设α,β,γ为三角形内角，求证tg(α/2)∙tg(β/2)+tg(β/2)∙tg(γ/2)+tg(γ/2)∙tg(α/2)=1.