高中数学-高考试题(山东大学 1949年三角函数及性质)

计算题（1949年山东大学）

求 cos20°cos40°cos80°的值.

答案解析

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讨论

高中数学

有等高的两竿，自其底连线上一点望之，较近之竿的仰角为 60°，若自该点向此线之垂直方向行 80 尺而测之，得二竿之仰角为 45°，30°，试求二竿之高及其间的距离.

在定角 XOY 的二边上各取二点 P、Q，使 OP +OQ = a. 试求 PQ 的中点的轨迹.

自 △ABC 的顶点 A 引 ∠B 的内外角平分线之垂线，则此两垂足与 AB，AC两边的中点共线.求证之.

今有三数，其和为 37，积为 1440，且其中二数的积较第三数的三倍大 12.试求此三数.

试分解(x²+x-3)/(x-1)(x-2)(x-3)为最简部分分式.

有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.

讨论y=1/x² 所表示的轨迹，并作其图.

椭圆9x²+y²=9与直线4x+y+5=0是否相切? 并说明其理由.

双曲线上一点与其两渐近线之阿离如何？并证此两距离相乘之积为常数.

若三直线aix+biy+ci=0(i=1,2,3)相交于一点，则=0.试证之.

三角函数

如图是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|<π/2)的图像，那么【】

设函数y=arctanx的图像沿x轴正方向平移两个单位所得到的图像为C.又设C'与C关于原点对称，那么C'所对应的图像是【】

在△ABC中，已知cosA=-3/5，则sin(A/2)=______.

求方程 + sinx = 0在[0,2π)上的解.

已知sinα=4/5，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于【】

函数y=sin⁡(2x+5π/2)的图像的一条对称轴方程是【】

设5π<θ<6π,cos(θ/2)=a，那么sin(θ/4)等于【】

满足sin⁡(x - π/4)≥1/2的x的集合是【】

如果下图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成【】

方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是【】

三角函数及性质

求cos40°cos60°cos80°之值.

求证：sin⁡(2nx)/(2nsinx)=cosx∙cos2x∙⋯∙cos⁡(2n-1x )

设x,y,θ皆为实数，x²+y²=1，则必有|xcosθ+ysinθ|≤1.

已知 α ∈ (0, π), 且 3cos2α − 8cosα = 5, 则 sinα =【】

若 α 为第四象限角, 则【】

已知函数 f(x) = sin2xsin2x.(1) 讨论 f(x) 在 (0,π)上的单调性;(2) 证明: |f(x)| ⩽ 3/8;(3) 证明: sin2xsin22xsin24x . . . sin22nx ⩽ 3n/4n .

已知 2tanθ − tan(θ + π/4) = 7, 则 tanθ =【】

2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日 (π Day). 历史上, 求圆周率的方法有多种, 与中国传统数学中的“割圆术”相似, 数学家阿尔 • 卡西的方法是: 当正整数 n 充分大时, 计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形 (各边均与圆相切的正 6n 边形) 的周长, 将它们的算术平均数作为 2π 的近似值. 按照阿尔 • 卡西的方法, π 的近似值的表达式是【】

已知0<α<π.证明：2sin2α≤cot(α/2)；并讨论α为何值时等号成立.

函数y=arcsin(sinx)中，x的取值范围是__________.