高中数学-高考试题(新高考Ⅱ 2020年三角函数及性质)

问答题（2020年新高考Ⅱ·理）

已知函数 f(x) = sin²xsin2x.

(1) 讨论 f(x) 在 (0,π)上的单调性;

(2) 证明: |f(x)| ⩽ 3/8;

(3) 证明: sin²xsin²2xsin²4x . . . sin²2ⁿx ⩽ 3ⁿ/4ⁿ .

答案解析

(1) 已知函数 f(x) = sin2xsin 2x, 则f′(x) = cosx(sinxsin2x) + sinx(sinxsin2x)′= 2sinxcosxsin2x + 2sin2xcos2x= 2sinxsin3x.当x∈(0,π/3) ∪(2π/3, π) 时, f′(x) > 0; 当 x ∈ (π/3, 2π/3) 时, f′(x) < 0.所以 f(x) 在区间 (0,π/3) ∪(2π/3, π) 单调递增, 在区间 (π/3, 2π/3) 单调递减.(2) 因为 f(0) = f(π) = 0, 由 (1) 知，在区间 [0, π] 上, f(...

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讨论

高中数学

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 A1B1C1 的中心, 若 AO // 面 EB1C1F , 且 AO = AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 设 M 是 C1 与 C2 的公共点. 若 |MF | = 5, 求 C1 与 C2 的标准方程.

某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所增加, 为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的 200 个地块, 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区, 调查得到样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,20), 其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积 (单位: 公顷) 和这种野生动物的数量,并计算得=60, =1200, =80, =9000, = 800.(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值 (这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数) ;(2) 求样本 (xi, yi) (i = 1, 2, … , 20) 的相关系数 (精确到 0.01) ;(3) 根据现有统计资料, 各地块间植物覆盖面积差异很大, 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计, 请给出一种你认为更合理的抽样方法, 并说明理由.附: 相关系数 r = , ≈ 1.414.

△ABC 中, sin2A − sin2B − sin2C = sinBsinC.(1) 求 A;(2) 若 BC = 3, 求 △ABC 周长的最大值.

设有下列四个命题:p1 : 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2 : 过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3 : 若空间两条直线不相交, 则这两条直线平行.p4 : 若直线 l ⊂ 平面 α, 直线 m ⊥ 平面 α, 则 m ⊥ l.则下列命题中所有真命题的序号是__________.① p1 ∧ p4 ② p1 ∧ p2 ③ ¬p2 ∨ p3 ④ ¬p3 ∨ ¬p4

设复数 z1, z2 满足 |z1| = |z2| = 2, z1 + z2 = + i , 则 |z1 − z2| =______.

4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动, 每名同学只去 1 个小区, 每个小区至少安排 1 名学生, 则不同的安排方法有______种

己知单位向量 a, b 的夹角为 45°, ka − b 与 a 垂直, 则 k = ______.

0−1 周期序列在通信技术中有着重要应用. 序列 a1a2 · · · an · · · 满足 a1 ∈ {0, 1} (i = 1, 2, · · · ), 且存在正整数 m, 使得 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 成立, 则称其为 0−1 周期数列, 并称满足 ai+m = ai (i = 1, 2, · · · ) 的最小正整数 m 为这个序列的周期. 对于周期为 m 的 0−1 序列 a1a2 · · · an · · · , C(k) =(k = 1, 2, · · · , m−1)是描述其性质的重要指标. 下列周期为 5 的 0 − 1 序列中, 满足 C(k) ⩽ 1/5(k = 1, 2, 3, 4) 的序列是【】

若 2x − 2y < 3−x − 3−y, 则【】

三角函数

函数y=cos2⁡x - 3cos⁡x + 2的最小值为【】

(sin⁡7°+cos⁡15°sin8°)/(cos7° - sin⁡15°sin8°)的值为________.

一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为【】

设x=sinα,且α∈[-π/6,5π/6]，则arccos⁡x的取值范围是________.

若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，则【】

若tanθ=-2，则sinθ⁡(1+sin2θ)/(sinθ+cosθ)=【】

解方程：sinx+cosx-1=0

求证：tg2α - ctg2α = -2sin4α/sin3α.

证明：(1+tanα)2=(1+sin2α)/cos2α.

求sin⁡(2arcsin(⁡4/5))的值.

三角函数及性质

已知x∈(-π/2,0),cosx=4/5，则tan2x=【】

已知f(x)=1/2 sin2x，关于该函数的四个说法：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[-π/4,π/4]上单调递增；③当x∈[-π/6,π/3]时，f(x)的取值范围为[-√3/4,√3/4]；④f(x)的图像可由g(x)=1/2 sin⁡(2x+π/4)向左平移π/8个单位长度得到.正确的个数有【】个

设2sinA=cosA,求sinA及cosA之值.

tan30°=______.

tan45°=______.

tan60°=______.

对于-π/4<β<0<α<π/4，已知sin⁡(α+β)=1/3,cos⁡(α-β)=2/3，则不大于(sinα/cosβ+cosβ/sinα+cosα/sinβ+sinβ/cosα)²的最大整数为______.

求cos40°cos60°cos80°之值.

求证：sin⁡(2nx)/(2nsinx)=cosx∙cos2x∙⋯∙cos⁡(2n-1x )

设x,y,θ皆为实数，x²+y²=1，则必有|xcosθ+ysinθ|≤1.